Clase 9 Ejercicio editable

Clase 9 · Aplicaciones de Laplace

Masa-resorte, tanque térmico, motor, nivel de líquido y fuente térmica exponencial

Aplicar la transformada de Laplace a problemas de ingeniería, mostrando el planteamiento físico, la EDO, la transformada, el despeje de Y(s), la forma de la inversa y la interpretación temporal del resultado.

Modelo base
\[\begin{aligned}\text{Fenómeno físico}&\Rightarrow \text{EDO}\Rightarrow \mathcal L\{\text{EDO}\}\\Y(s)&\Rightarrow \text{fracciones parciales}\Rightarrow y(t)\end{aligned}\]
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Parámetros editables

Se muestran solo los parámetros que usa el modelo seleccionado.
Selecciona el fenómeno aplicado. Cada opción cambia la EDO, la transformada Y(s), la interpretación y la curva graficada.
Coeficiente principal. En primer orden mide rapidez de ajuste; en segundo orden multiplica a y' y representa amortiguamiento.
En segundo orden multiplica a y y representa rigidez o restauración. En tanque térmico actúa como temperatura de equilibrio T∞.
Magnitud de la entrada externa: fuerza, señal de control, caudal oscilante o intensidad térmica.
Si la entrada es senoidal, ω es la frecuencia. En la fuente exponencial se usa como d, tasa de decaimiento.
Condición inicial de la variable. En Laplace aparece al transformar y' y y''.
Velocidad inicial. Solo afecta modelos de segundo orden, como masa-resorte o motor.
Tiempo total de observación para la gráfica, tabla e interpretación.
Separación entre puntos de simulación. Un paso menor suaviza el gráfico.
Restablecer valores

Ejercicio didáctico

Selecciona una aplicación. La app convierte el fenómeno en una EDO, muestra el paso al dominio s, identifica el denominador dinámico y grafica la respuesta temporal con parámetros editables.

Ecuación diferencial
\[\begin{aligned}\text{Fenómeno físico}&\Rightarrow \text{EDO}\Rightarrow \mathcal L\{\text{EDO}\}\\Y(s)&\Rightarrow \text{fracciones parciales}\Rightarrow y(t)\end{aligned}\]
Solución / método
\[\begin{aligned}\mathcal L\{y'\}&=sY(s)-y(0)\\\mathcal L\{y''\}&=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)\\\mathcal L\{\sin(\omega t)\}&=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\end{aligned}\]

Mapa mental para modelar

Antes de resolver, el estudiante debe traducir el fenómeno a lenguaje matemático.

Clase 9 · foco didáctico
1
Traducir el fenómeno

Primero se decide qué representa y(t): desplazamiento, temperatura, nivel, ángulo del eje o temperatura relativa.

2
Definir la entrada

La entrada puede ser escalón, seno, exponencial o ambiente. En Laplace cambia el numerador de Y(s).

3
Leer el denominador

El denominador en s contiene la dinámica natural: s+a en primer orden o s^2+as+b en segundo orden.

4
Volver al tiempo

Después de despejar Y(s), se prepara la transformada inversa. La gráfica separa transitorio, entrada y respuesta total.

Ejemplos que debe reconocer el alumno

Tanque térmico
\[T'+kT=kT_\infty\]

Sistema de primer orden que se acerca a una temperatura de equilibrio.

Masa-resorte
\[y''+ay'+by=F\sin(\omega t)\]

Vibración con amortiguamiento y fuerza periódica externa.

Motor / escalón
\[\theta''+a\theta'+b\theta=F\]

Respuesta de un sistema de control ante una señal constante.

Nivel de líquido
\[h'+ah=F\sin(\omega t)\]

Tanque con caudal oscilante que genera desfase y amplitud.

Lámina térmica
\[y'+ay=Fe^{-dt}\]

Fuente térmica que se va apagando en el tiempo.

Paso a paso

1
Plantear la EDO
\[\text{Identificar }y(t),\;y'(t),\;y''(t)\text{ y la entrada externa}\]
2
Aplicar Laplace
\[\mathcal L\{y'\}=sY(s)-y_0,\qquad \mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-sy_0-v_0\]
3
Transformar la entrada
\[\mathcal L\{F\}=\frac{F}{s},\quad \mathcal L\{F\sin(\omega t)\}=\frac{F\omega}{s^2+\omega^2},\quad \mathcal L\{Fe^{-dt}\}=\frac{F}{s+d}\]
4
Despejar Y(s)
\[Y(s)=\frac{\text{condiciones iniciales + entrada transformada}}{\text{denominador dinámico}}\]
5
Preparar la inversa
\[Y(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+a}+\frac{Cs+D}{(s+\alpha)^2+\beta^2}+\cdots\]
6
Interpretar
\[y(t)=\text{transitorio}+\text{respuesta forzada}+\text{equilibrio o régimen permanente}\]

Desarrollo matemático con los valores actuales

solución guiada

1. Modelo masa-resorte-amortiguador normalizado

\[y''+0,800y'+2,000y=3,000\sin(1,000t),\qquad y(0)=0,000,\quad y'(0)=0,000\]

La masa recibe una fuerza periódica. El amortiguamiento reduce la respuesta natural y la rigidez produce recuperación.

2. Aplicamos Laplace

\[(s^2+0,800s+2,000)Y(s)-s0,000-0,000-0,000=\frac{3,000}{s^2+1,000}\]

La fuerza seno se convierte en una fracción racional en s.

3. Despejamos Y(s)

\[Y(s)=\frac{s0,000+0,000+\frac{3,000}{s^2+1,000}}{s^2+0,800s+2,000}\]

El denominador dinámico se combina con el denominador de la fuerza externa.

4. Parte homogénea

\[s^2+0,800s+2,000=0,\qquad \Delta=-7,360,\qquad r=-0,400\pm 1,356i\]

Las raíces controlan el transitorio natural de la vibración.

5. Propuesta de respuesta forzada

\[y_p=M\sin(1,000t)+N\cos(1,000t)\]

La respuesta permanente tiene la misma frecuencia que la fuerza, pero puede venir desfasada.

6. Igualación de coeficientes

\[(2,000-1,000)M-0,800N=3,000,\qquad 0,800M+(2,000-1,000)N=0\]

Se comparan los coeficientes de seno y coseno después de sustituir y_p.

7. Coeficientes y constantes

\[M=1,829,\qquad N=-1,463,\qquad C_1=1,463,\qquad C_2=-0,917\]

M y N describen la respuesta forzada; C1 y C2 ajustan el transitorio con las condiciones iniciales.

Cierre didáctico 1. Traducir el caso físico

\[\text{fenómeno}\Rightarrow\text{EDO con condiciones iniciales}\]

Antes de aplicar Laplace, el estudiante debe identificar masa, amortiguamiento, rigidez, entrada, temperatura, nivel o señal de control.

Cierre didáctico 2. Usar Laplace como puente

\[\mathcal L\{y'\},\;\mathcal L\{y''\},\;\mathcal L\{u(t)\},\;\mathcal L\{\sin(\omega t)\}\]

Cada término físico se transforma en una pieza algebraica que permite despejar la respuesta.

Cierre didáctico 3. Interpretar respuesta

\[y(t)=\text{transitorio}+\text{respuesta forzada}\]

El resultado temporal debe leerse como la combinación entre dinámica propia y estímulo externo.

M 1,829 Coeficiente del seno.
N -1,463 Coeficiente del coseno.
Amplitud 2,343 Respuesta forzada.
Máximo 2,394 Pico de desplazamiento.

Gráfico del modelo

El gráfico muestra solo la solución final del problema con los valores actuales. Las derivadas, entradas, transitorios y componentes auxiliares se revisan en la tabla y en el desarrollo paso a paso.

Interpretación

La solución mezcla una vibración natural transitoria con una respuesta forzada permanente. Si el amortiguamiento es positivo, el transitorio pierde peso y domina la oscilación impuesta por la fuerza externa.

Aplicación: masa-resorte Entrada: sinusoidal Raíces: r=-0,400\pm 1,356i

Cómo afecta cada constante al modelo

a 0,800

Amortiguamiento. A mayor a, menor persistencia del transitorio.

b 2,000

Rigidez. Afecta la frecuencia natural del sistema.

F 3,000

Intensidad de la fuerza periódica.

ω 1,000

Frecuencia de excitación externa.

amplitud 2,343

Amplitud de la respuesta forzada permanente.

Checklist de modelación

¿Qué es y_h?

La vibración natural que depende de las raíces.

¿Qué es y_p?

La respuesta permanente causada por la fuerza senoidal.

¿Por qué aparece coseno?

Por el desfase entre fuerza y respuesta.

¿Qué evalúa Laplace?

Transforma la fuerza y la dinámica en una expresión Y(s).

Tabla resumida

t / x y(t)y'(t)y''(t)entrada
0,000,0000,0000,0000,000
1,050,4030,9521,0352,602
2,101,5990,894-1,3232,590
3,151,507-1,205-2,074-0,025
4,20-0,555-2,2900,327-2,615
5,25-2,284-0,6172,486-2,577
6,30-1,5641,8471,7010,050
7,350,8542,292-0,9152,627
8,402,3720,328-2,4432,564
9,451,444-1,915-1,431-0,076
10,50-0,929-2,1780,962-2,639
11,55-2,340-0,2642,341-2,551
12,60-1,3971,8901,3830,101
13,650,9392,144-0,9422,651
14,702,3280,255-2,3222,537
15,751,382-1,888-1,380-0,126
16,80-0,950-2,1390,948-2,663
18,00-2,3390,1092,338-2,253
Ejercicios de aplicación propuestos 3 casos realistas para practicar. Haz clic para abrir o cerrar esta pestaña. Práctica guiada

Ejercicios de aplicación propuestos

Usa los parámetros realistas de cada caso para practicar el modelamiento después de revisar la solución guiada.

Clase 9

1. Pistón masa-resorte amortiguado con fuerza sinusoidal

Un pistón de laboratorio vibra por una excitación externa periódica y parte desde reposo.

Clase 9
\[y''+0.7y'+4y=3\sin(2t),\quad y(0)=0,\;y'(0)=0\]
Masa 1 kg
Amortiguamiento 0.7
Rigidez 4
Fuerza 3 sin(2t)
Qué debe realizar el estudiante
  1. Aplicar Laplace a ambos lados.
  2. Usar \mathcal L\{\sin(2t)\}=2/(s^2+4).
  3. Despejar Y(s).
  4. Interpretar transitorio y régimen forzado.
La entrada senoidal introduce un factor adicional s^2+\omega^2 en Y(s).

2. Tanque térmico con intercambiador

Un tanque bien mezclado se calienta hacia una temperatura final impuesta por el intercambiador.

Clase 9
\[T'+0.18T=18,\qquad T(0)=25\]
Equilibrio 100 °C
Constante 0.18 min⁻¹
Inicial 25 °C
Horizonte 30 min
Qué debe realizar el estudiante
  1. Transformar la EDO con Laplace.
  2. Despejar T(s).
  3. Separar en fracciones parciales.
  4. Explicar por qué T(t) tiende a 100 °C.
Como 18/0.18=100, ese será el equilibrio térmico.

3. Motor DC con entrada escalón

El eje de un motor recibe una señal de control constante y se observa el ángulo de salida.

Clase 9
\[\theta''+3\theta'+2\theta=4u(t),\quad \theta(0)=0,\;\theta'(0)=0\]
Entrada escalón unitario ×4
Coeficientes 3 y 2
Estado inicial reposo
Variable ángulo θ(t)
Qué debe realizar el estudiante
  1. Recordar que \mathcal L\{u(t)\}=1/s.
  2. Obtener \Theta(s).
  3. Factorizar s^2+3s+2.
  4. Aplicar fracciones parciales y analizar la respuesta.
El denominador tendrá factores s, s+1 y s+2.