Clase 3 Ejercicio editable

Clase 3 · Vibraciones amortiguadas

Masa-resorte-amortiguador, respuesta natural, respuesta forzada y ventas con oscilaciones amortiguadas

Resolver modelos de segundo orden con oscilaciones amortiguadas, identificando raíces complejas, solución homogénea, solución particular, constantes de integración y lectura física o industrial de la trayectoria.

Modelo base
\[\begin{aligned}m y''+c y'+k y&=F_0\cos(\omega t)\\ y''+ay'+by&=c_0+A\sin(\omega t)\end{aligned}\]
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Parámetros editables

Se muestran solo los parámetros que usa el modelo seleccionado.
Elige si el ejemplo se interpreta como vibración mecánica o como comportamiento de ventas/demanda con ciclos amortiguados.
Solo en masa-resorte. Representa inercia: a mayor masa, más cuesta cambiar el movimiento.
Solo en masa-resorte. Disipa energía; al aumentar c, el transitorio suele apagarse más rápido.
Solo en masa-resorte. Fuerza de recuperación del resorte; aumenta la frecuencia natural del sistema.
Solo en masa-resorte. Amplitud de la perturbación externa periódica.
Solo en ventas. Multiplica a y'. Representa amortiguamiento, fricción comercial o disipación del impulso inicial.
Solo en ventas. Multiplica a y. Representa fuerza de recuperación hacia una dinámica base.
Solo en ventas. Entrada constante que genera un nivel promedio de largo plazo.
Solo en ventas. Tamaño de la oscilación estacional o campaña periódica.
Frecuencia de la fuerza externa o de la estacionalidad. Un valor mayor genera ciclos más rápidos.
Posición, ventas iniciales o nivel observado en t=0. Sirve para calcular C₁.
Pendiente inicial. Indica si al inicio el sistema sube, baja o parte plano. Sirve para calcular C₂.
Tiempo total observado en gráfico y tabla.
Intervalo numérico para dibujar la curva. Menor h produce más puntos y curva más suave.
Restablecer valores

Ejercicio didáctico

La clase estudia sistemas donde existe inercia, amortiguamiento y una fuerza externa periódica. El caso clásico es una máquina o estructura sometida a vibraciones; también se adapta a ventas o demanda con tendencia, estacionalidad y amortiguamiento del efecto inicial.

Ecuación diferencial
\[\begin{aligned}m y''+c y'+k y&=F_0\cos(\omega t)\\ y''+ay'+by&=c_0+A\sin(\omega t)\end{aligned}\]
Solución / método
\[\begin{aligned}y(t)&=y_h(t)+y_p(t)\\ y_h(t)&=e^{\alpha t}\left(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\right)\end{aligned}\]

Mapa mental para modelar

Antes de resolver, el estudiante debe traducir el fenómeno a lenguaje matemático.

Clase 3 · foco didáctico
1
Reconocer el fenómeno

Si el sistema vibra, oscila o responde a una fuerza periódica, normalmente aparece una EDO de segundo orden.

2
Separar la dinámica

y_h representa la respuesta natural del sistema; y_p representa la respuesta permanente causada por la fuerza externa.

3
Buscar raíces

La ecuación característica entrega raíces reales o complejas. Si son complejas con parte real negativa, la oscilación se amortigua.

4
Ajustar con condiciones iniciales

C_1 y C_2 no se inventan: se calculan usando y(0) y y'(0), después de considerar la parte particular.

Ejemplos que debe reconocer el alumno

Masa-resorte-amortiguador
\[m y''+c y'+ky=F_0\cos(\omega t)\]

Maquinaria, estructuras, pistones o equipos sometidos a vibración periódica externa.

Ventas amortiguadas
\[y''+ay'+by=c_0+A\sin(\omega t)\]

Ventas con tendencia base, ciclos estacionales y un efecto inicial que se va disipando.

Respuesta natural + forzada
\[y(t)=y_h(t)+y_p(t)\]

El alumno debe distinguir entre el transitorio inicial y el comportamiento permanente del sistema.

Paso a paso

1
Plantear la EDO
\[m y''+c y'+ky=F_0\cos(\omega t)\]
2
Normalizar si existe masa
\[y''+\frac{c}{m}y'+\frac{k}{m}y=\frac{F_0}{m}\cos(\omega t)\]
3
Resolver la homogénea
\[m r^2+cr+k=0\quad\text{o}\quad r^2+ar+b=0\]
4
Interpretar raíces complejas
\[r=\alpha\pm\beta i\Rightarrow y_h=e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t+C_2\sin\beta t)\]
5
Proponer la particular
\[y_p=K+M\sin(\omega t)+N\cos(\omega t)\]
6
Derivar y sustituir
\[y_p'=M\omega\cos(\omega t)-N\omega\sin(\omega t)\]
7
Igualar coeficientes
\[(b-\omega^2)M-a\omega N=S,\quad a\omega M+(b-\omega^2)N=C\]
8
Aplicar condiciones iniciales
\[z(0)=y_0-y_p(0),\quad z'(0)=v_0-y_p'(0)\]
9
Escribir solución final
\[y(t)=y_h(t)+y_p(t)\]
10
Interpretar la gráfica
\[y_h\rightarrow\text{transitorio amortiguado},\quad y_p\rightarrow\text{respuesta permanente forzada}\]

Desarrollo matemático con los valores actuales

solución guiada

1. Planteamiento del fenómeno

\[1,000y''+0,500y'+4,000y=2,000\cos(1,000t)\]

El problema se interpreta como sistema masa-resorte-amortiguador con fuerza externa. La variable y(t) cambia con posición/nivel, velocidad y aceleración.

2. Normalizar la ecuación

\[y''+0,500y'+4,000y=2,000\cos(1,000t)\]

Dividimos toda la ecuación por la masa m para dejar el coeficiente de y'' igual a 1.

3. Resolver la homogénea asociada

\[y''+0,500y'+4,000y=0\]

La homogénea muestra la respuesta natural: lo que el sistema haría si apagamos la fuerza externa.

4. Buscar raíces de la ecuación característica

\[r^2+0,500r+4,000=0,\qquad \Delta=-15,750\Rightarrow r=-0,250\pm 1,984i\]

Las raíces indican el tipo de vibración: subamortiguada / raíces complejas conjugadas.

5. Construir la solución homogénea

\[y_h=e^{\alpha t}\left(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\right)\]

Esta parte contiene C₁ y C₂. Representa el transitorio natural, que puede oscilar y amortiguarse.

6. Proponer la solución particular

\[y_p=K+M\sin(\omega t)+N\cos(\omega t)\]

Como la entrada tiene una parte constante y/o sinusoidal, se propone una particular con la misma familia de funciones.

7. Derivar la particular

\[y_p'=M\omega\cos(\omega t)-N\omega\sin(\omega t),\quad y_p''=-M\omega^2\sin(\omega t)-N\omega^2\cos(\omega t)\]

Este paso muestra por qué aparecen seno y coseno a la vez: al derivar, las funciones se transforman entre sí.

8. Igualar coeficientes para encontrar K, M y N

\[K=0,000,\qquad M=0,108,\qquad N=0,649\]

Después de sustituir y agrupar términos, se compara constante, seno y coseno con el lado derecho.

9. Corregir las condiciones iniciales restando y_p

\[z(0)=y_0-y_p(0)=6,000-0,649=5,351,\quad z'(0)=v_0-y_p'(0)=0,000-0,108=-0,108\]

Este es el punto crítico: C₁ y C₂ pertenecen a la homogénea, por eso primero se descuenta la particular.

10. Calcular C₁ y C₂

\[C_1=z(0)=5,351,\quad C_2=\frac{z'(0)-\alpha C_1}{\beta}=0,620\]

Las constantes de integración ajustan la curva para cumplir exactamente el valor inicial y la velocidad inicial.

11. Escribir solución final

\[y(t)=e^{-0,250t}\left(5,351\cos(1,984t)+0,620\sin(1,984t)\right)+0,649\cos(1,000t)+0,108\sin(1,000t)\]

La solución final combina transitorio natural y respuesta permanente forzada.

Cierre didáctico 1. Normalizar el modelo

\[m y''+c y'+ky=F(t)\quad\Rightarrow\quad y''+\frac{c}{m}y'+\frac{k}{m}y=\frac{F(t)}{m}\]

La normalización permite comparar el modelo mecánico con la forma estándar de segundo orden.

Cierre didáctico 2. Distinguir transitorio y forzado

\[y(t)=y_h(t)+y_p(t)\]

y_h representa la vibración natural que se amortigua o crece; y_p representa la respuesta permanente generada por la fuerza externa.

Cierre didáctico 3. Ajustar con condiciones iniciales

\[y(0)=y_0,\qquad y'(0)=v_0\]

Las condiciones iniciales determinan el peso del transitorio. Por eso se aplican después de construir y_h+y_p.

Raíces r=-0,250\pm 1,984i Resultado de la ecuación característica.
Amortiguamiento ζ 0,125 Clasifica el tipo de respuesta natural.
Amplitud yₚ 0,658 Tamaño de la respuesta permanente forzada.
Energía 0,437 Energía mecánica aproximada 1/2 mv² + 1/2 ky².

Gráfico del modelo

El gráfico muestra solo la solución final del problema con los valores actuales. Las derivadas, entradas, transitorios y componentes auxiliares se revisan en la tabla y en el desarrollo paso a paso.

Interpretación

El sistema masa-resorte-amortiguador separa claramente dos efectos: el transitorio natural y_h, que depende de las raíces, y la respuesta forzada y_p, que queda determinada por la fuerza externa. Con ζ=0,125 el sistema es subamortiguado: oscila y el transitorio se apaga si α<0. La amplitud de la respuesta particular es 0,658. Si ω se acerca a la frecuencia natural ωₙ=2,000, la vibración permanente puede amplificarse, especialmente si c es pequeño.

Modelo: masa-resorte ωₙ: 2,000 ζ: 0,125 Tipo: subamortiguado: oscila y el transitorio se apaga si α<0

Cómo afecta cada constante al modelo

m 1,000

Masa o inercia. Si aumenta, el sistema responde con más lentitud ante la fuerza externa.

c 0,500

Amortiguamiento. Disipa energía y reduce el transitorio natural.

k 4,000

Rigidez. Aumenta la fuerza de recuperación y eleva la frecuencia natural.

F₀ 2,000

Amplitud de la fuerza externa. Aumenta la magnitud de la respuesta particular.

ω 1,000

Frecuencia de excitación. Si se acerca a ωₙ, puede generar amplificación.

Checklist de modelación

¿Qué significa y(t)?

En mecánica es desplazamiento; en ventas es nivel de ventas o demanda.

¿Qué significa y'(t)?

Velocidad: rapidez con que cambia el desplazamiento, venta o demanda.

¿Qué significa y''(t)?

Aceleración o curvatura: indica si la velocidad se está intensificando o frenando.

¿Qué es y_h?

Respuesta natural: depende de raíces, amortiguamiento y condiciones iniciales.

¿Qué es y_p?

Respuesta forzada: queda determinada por la entrada externa periódica.

¿Qué debe mirar el alumno en el gráfico?

La diferencia entre oscilación inicial amortiguada y patrón permanente final.

Tabla resumida

t / x y(t)y'(t)y''(t)entradaEnergía
0,006,0000,000-22,0002,00072,000
1,15-1,904-6,61811,7430,81729,150
2,30-1,1425,4490,510-1,33317,453
3,451,399-2,371-6,317-1,9066,726
4,60-1,743-0,3336,914-0,2246,132
5,750,8802,755-3,1771,7225,346
6,901,102-2,028-1,7631,6314,485
8,05-0,732-0,2652,672-0,3901,107
9,20-0,1980,345-1,329-1,9500,138
10,35-0,477-0,3510,882-1,2030,517
11,50-0,0111,0720,4750,9670,575
12,650,8810,063-1,5621,9931,554
13,800,225-0,8400,1810,6620,454
14,95-0,434-0,2720,419-1,4520,414
16,10-0,5530,0490,338-1,8480,612
17,25-0,1920,6000,410-0,0580,254
18,400,5520,479-0,6451,8010,723
20,000,353-0,614-0,2870,8160,437
Ejercicios de aplicación propuestos 3 casos realistas para practicar. Haz clic para abrir o cerrar esta pestaña. Práctica guiada

Ejercicios de aplicación propuestos

Usa los parámetros realistas de cada caso para practicar el modelamiento después de revisar la solución guiada.

Clase 3

1. Vibración de un soporte de motor industrial

Un motor pequeño se monta sobre un soporte con resorte y amortiguador, recibiendo una fuerza periódica por desbalance.

Clase 3
\[2y''+1.2y'+30y=8\cos(3t),\quad y(0)=0.02,\;y'(0)=0\]
Masa 2 kg
Amortiguador 1.2 N·s/m
Rigidez 30 N/m
Fuerza 8 cos(3t) N
Qué debe realizar el estudiante
  1. Dividir por m para normalizar la ecuación.
  2. Calcular raíces de la parte homogénea.
  3. Proponer y_p=A\cos(3t)+B\sin(3t).
  4. Determinar C_1 y C_2 con las condiciones iniciales.
La parte homogénea representa el movimiento libre; la particular representa la vibración forzada.

2. Mesa vibratoria con amortiguamiento bajo

Una mesa de inspección recibe vibraciones periódicas desde una máquina cercana y el amortiguamiento es bajo.

Clase 3
\[1.5y''+0.35y'+18y=4\sin(4t),\quad y(0)=0,\;y'(0)=0.15\]
Masa equivalente 1.5 kg
Amortiguamiento 0.35
Rigidez 18
Frecuencia externa 4 rad/s
Qué debe realizar el estudiante
  1. Evaluar si el sistema está subamortiguado.
  2. Encontrar la frecuencia natural amortiguada.
  3. Calcular la particular senoidal con desfase.
  4. Comparar transitorio y régimen permanente.
Con bajo amortiguamiento, el transitorio puede durar más y observarse por varios ciclos.

3. Ventas con tendencia y oscilaciones amortiguadas

Una campaña inicial genera oscilaciones de demanda que se van apagando, pero existe estacionalidad de mercado permanente.

Clase 3
\[y''+0.8y'+1.1y=5+2\sin(3t),\quad y(0)=6,\;y'(0)=0\]
Base de mercado 5
Amplitud estacional 2
Frecuencia 3 rad/mes
Valor inicial 6
Qué debe realizar el estudiante
  1. Separar y_h e y_p.
  2. Interpretar y_h como efecto inicial de la campaña.
  3. Interpretar y_p como comportamiento estable de mercado.
  4. Graficar y explicar el amortiguamiento.
El alumno debe distinguir entre oscilaciones que desaparecen y ciclos que permanecen.