Clase 10 Ejercicio editable

Clase 10 · EDP de calor

Derivadas parciales, conducción térmica, condiciones de borde y diferencias finitas

Comprender cómo una EDP describe una variable que depende de más de una variable independiente, especialmente temperatura en posición y tiempo; formular condiciones iniciales y de borde, resolver casos simplificados e interpretar el resultado térmico.

Modelo base
\[\begin{aligned}\frac{\partial T}{\partial t}&=\alpha\frac{\partial^2T}{\partial x^2}\\ T(x,0)&=T_i(x)\\ T(0,t)&=T_L,\quad T(L,t)=T_R\end{aligned}\]
Ver todas las clases
Clase anterior

Parámetros editables

Se muestran solo los parámetros que usa el modelo seleccionado.
Selecciona el tipo de modelo. Cambia si se resuelve una EDO simplificada, un perfil estacionario o una EDP transitoria.
Rapidez con que el calor se propaga dentro del material. A mayor α, la temperatura se redistribuye más rápido.
Longitud de la barra o espesor de la pared/tubería. Define el dominio espacial 0≤x≤L.
Condición de borde en x=0. Representa el extremo caliente, pared interior o contacto con fuente térmica.
Condición de borde en x=L. Representa el extremo frío, pared exterior o ambiente.
Temperatura inicial del interior del material cuando se inicia la simulación transitoria.
Se usa en el calentamiento 0D. Es la temperatura al inicio cuando solo interesa el tiempo.
En 0D es la tasa de calentamiento. En generación interna representa intensidad de calor producido dentro del material.
Conductividad térmica usada en conducción estacionaria con generación interna. A mayor k, menor curvatura térmica para la misma generación.
Tiempo hasta el que se observa la evolución térmica en modelos transitorios.
Cantidad de puntos usados para dividir el material. Más nodos entregan mayor detalle espacial.
Intervalo de avance temporal. Si no cumple estabilidad, la app lo ajusta automáticamente.
Restablecer valores

Ejercicio didáctico

La clase modela transferencia de calor en procesos industriales. Se parte de la ecuación de calor, luego se analizan tres niveles de modelación: calentamiento sin variación espacial, perfil estacionario en una pared/tubería, difusión transitoria en una barra y conducción con generación interna.

Ecuación diferencial
\[\begin{aligned}\frac{\partial T}{\partial t}&=\alpha\frac{\partial^2T}{\partial x^2}\\ T(x,0)&=T_i(x)\\ T(0,t)&=T_L,\quad T(L,t)=T_R\end{aligned}\]
Solución / método
\[\begin{aligned}\text{EDP} &\Rightarrow \text{depende de }x\text{ y }t\\ \text{Caso estacionario: }\frac{d^2T}{dx^2}&=0\Rightarrow T(x)=C_1x+C_2\\ \text{Diferencias finitas: }T_i^{n+1}&=T_i^n+r(T_{i+1}^n-2T_i^n+T_{i-1}^n)\end{aligned}\]

Mapa mental para modelar

Antes de resolver, el estudiante debe traducir el fenómeno a lenguaje matemático.

Clase 10 · foco didáctico
1
Reconocer variables independientes

En una EDP, la variable depende de más de una entrada: T(x,t) cambia según la posición x y el tiempo t.

2
Distinguir derivadas parciales

\partial T/\partial t mide cambio temporal local; \partial^2T/\partial x^2 mide curvatura espacial o gradiente térmico interno.

3
Definir condiciones de borde

T(0,t)=T_L y T(L,t)=T_R fijan lo que ocurre en los extremos del material o pared.

4
Elegir nivel de simplificación

Si no hay variación espacial se obtiene una EDO; si no hay variación temporal se obtiene un problema estacionario en x.

Ejemplos que debe reconocer el alumno

Calentamiento 0D
\[\frac{dT}{dt}=q\]

La temperatura solo cambia con el tiempo; sirve para introducir cómo una EDP puede simplificarse a una EDO.

Perfil estacionario
\[\frac{d^2T}{dx^2}=0\]

La temperatura depende del espesor, pero ya no cambia en el tiempo. La solución es lineal.

Difusión transitoria
\[T_t=\alpha T_{xx}\]

La temperatura se redistribuye dentro del material hasta aproximarse al estado estacionario.

Generación interna
\[k\frac{d^2T}{dx^2}+g=0\]

Una fuente interna, como reacción o resistencia eléctrica, genera un perfil parabólico.

Paso a paso

1
Plantear la variable
\[T=T(x,t)\quad \text{temperatura en la posición }x\text{ y tiempo }t\]
2
Identificar derivadas parciales
\[T_t=\frac{\partial T}{\partial t},\qquad T_{xx}=\frac{\partial^2T}{\partial x^2}\]
3
Escribir la ecuación de calor
\[T_t=\alpha T_{xx}\]
4
Condición inicial
\[T(x,0)=T_i(x)\quad \text{perfil inicial de temperatura}\]
5
Condiciones de borde
\[T(0,t)=T_L,\qquad T(L,t)=T_R\]
6
Caso estacionario
\[T_t=0\Rightarrow \alpha T_{xx}=0\Rightarrow T(x)=C_1x+C_2\]
7
Aplicar bordes
\[T(0)=T_L\Rightarrow C_2=T_L,\quad T(L)=T_R\Rightarrow C_1=\frac{T_R-T_L}{L}\]
8
Diferencias finitas
\[T_i^{n+1}=T_i^n+r(T_{i+1}^n-2T_i^n+T_{i-1}^n),\quad r=\frac{\alpha\Delta t}{\Delta x^2}\]
9
Estabilidad numérica
\[0
10
Interpretar
\[\alpha\uparrow\Rightarrow \text{difusión más rápida};\quad T_L,T_R\Rightarrow \text{perfil final impuesto por bordes}\]

Desarrollo matemático con los valores actuales

solución guiada

1. EDP de calor

\[\frac{\partial T}{\partial t}=0,010\frac{\partial^2T}{\partial x^2}\]

La temperatura cambia en el tiempo por la curvatura espacial del perfil térmico.

2. Dominio espacial

\[0\le x\le 1,000,\qquad \Delta x=\frac{L}{n_x-1}=0,042\]

La barra se divide en nodos para aproximar la temperatura en posiciones discretas.

3. Condiciones de borde

\[T(0,t)=100,000,\qquad T(1,000,t)=20,000\]

Los extremos permanecen fijos durante toda la simulación.

4. Condición inicial

\[T(x,0)=20,000\quad\text{para los nodos interiores}\]

El interior parte con temperatura uniforme antes de recibir el efecto de los bordes.

5. Aproximación por diferencias finitas

\[T_i^{n+1}=T_i^n+r(T_{i+1}^n-2T_i^n+T_{i-1}^n)\]

Cada nodo nuevo se calcula usando su valor actual y la curvatura aproximada con sus vecinos.

6. Número de estabilidad

\[r=\frac{\alpha\Delta t}{\Delta x^2}=0,058\le 0.5\]

Si r es demasiado grande, el esquema explícito puede volverse inestable. La app ajusta Δt cuando es necesario.

7. Perfil estacionario esperado

\[T_e(x)=-80,000x+100,000\]

Con el tiempo, la solución transitoria se aproxima al perfil lineal impuesto por los bordes.

Cierre didáctico 1. Distinguir variables independientes

\[T=T(x,t)\]

En una EDP la temperatura depende de la posición y del tiempo, por eso aparecen derivadas parciales.

Cierre didáctico 2. Identificar condiciones necesarias

\[T(x,0)=T_i(x),\qquad T(0,t)=T_L,\qquad T(L,t)=T_R\]

Las condiciones iniciales describen cómo parte la barra; las condiciones de borde describen qué ocurre en los extremos.

Cierre didáctico 3. Leer la solución final

\[T(x,t_f)\]

El gráfico final muestra el perfil de temperatura al tiempo observado. La tabla conserva información adicional para interpretar la evolución.

r 0,058 Debe ser ≤0,5 para estabilidad explícita.
Δx 0,042 Separación espacial.
Δt usado 0,010 Paso temporal aplicado.
Error máx 31,591 Diferencia con el perfil estacionario.

Gráfico del modelo

El gráfico muestra solo el perfil final de temperatura. Los estados intermedios y referencias auxiliares se conservan en la tabla y en el desarrollo.

Interpretación

La difusión de calor suaviza el perfil térmico en el tiempo. Los extremos actúan como condiciones de borde fijas; el interior se ajusta progresivamente hacia el perfil estacionario. El Δt ingresado cumple la condición de estabilidad.

EDP: Tt=αTxx Bordes: TL=100,000, TR=20,000 Estabilidad: OK Media final: 41,021

Cómo afecta cada constante al modelo

α 0,010

Controla la rapidez con que la curvatura espacial se transforma en cambio temporal.

TL, TR 100,000, 20,000

Fijan el destino de largo plazo del sistema.

Ti 20,000

Condición inicial interior; define desde dónde parte la evolución.

r 0,058

Número que combina α, Δt y Δx; gobierna estabilidad del método explícito.

Checklist de modelación

¿Qué depende de x y t?

La temperatura T(x,t).

¿Qué significa Tt?

Cambio temporal en una posición fija.

¿Qué significa Txx?

Curvatura espacial del perfil.

¿Por qué hay borde e inicial?

La EDP necesita información espacial en los extremos y una condición inicial en todo el dominio.

Tabla resumida

t / x T(x,tf)T estacionariaerror
0,00100,000100,0000,000
0,0491,62296,667-5,044
0,0883,38993,333-9,944
0,1275,43690,000-14,564
0,1767,88786,667-18,780
0,2160,84383,333-22,490
0,2554,38480,000-25,616
0,2948,56376,667-28,103
0,3343,40773,333-29,926
0,3838,91870,000-31,082
0,4235,07666,667-31,591
0,4631,84463,333-31,489
0,5029,17160,000-30,829
0,5426,99956,667-29,668
0,5825,26353,333-28,071
0,6223,89950,000-26,101
0,6722,84446,667-23,822
1,0020,00020,0000,000
Ejercicios de aplicación propuestos 3 casos realistas para practicar. Haz clic para abrir o cerrar esta pestaña. Práctica guiada

Ejercicios de aplicación propuestos

Usa los parámetros realistas de cada caso para practicar el modelamiento después de revisar la solución guiada.

Clase 10

1. Perfil estacionario en pared de caldera

Una pared metálica separa gases calientes del ambiente. Se desea estimar el perfil de temperatura a través del espesor.

Clase 10
\[\frac{d^2T}{dx^2}=0,\quad T(0)=450,\quad T(0.20)=80\]
Espesor 0.20 m
Cara caliente 450 °C
Cara fría 80 °C
Régimen estacionario
Qué debe realizar el estudiante
  1. Integrar dos veces la ecuación.
  2. Usar T(0) para encontrar C_2.
  3. Usar T(L) para encontrar C_1.
  4. Interpretar la pendiente como gradiente térmico.
Sin generación interna, el perfil estacionario es lineal.

2. Difusión transitoria en una barra metálica

Una barra inicialmente fría se calienta desde un extremo y se mantiene fría en el otro.

Clase 10
\[T_t=1.5\times 10^{-5}T_{xx},\quad T(0,t)=120,\quad T(0.5,t)=25,\quad T(x,0)=25\]
Largo 0.5 m
Difusividad 1.5e-5 m²/s
Borde caliente 120 °C
Tiempo 600 s
Qué debe realizar el estudiante
  1. Identificar variable dependiente T(x,t).
  2. Definir condición inicial y condiciones de borde.
  3. Calcular r=\alpha\Delta t/\Delta x^2 para un esquema explícito.
  4. Comentar cómo cambia el perfil con el tiempo.
La solución evoluciona desde el perfil inicial hacia el perfil estacionario impuesto por los bordes.

3. Conducción con generación interna de calor

Una placa produce calor internamente por resistencia eléctrica y ambos lados se mantienen a la misma temperatura.

Clase 10
\[k\frac{d^2T}{dx^2}+g=0,\quad T(0)=80,\quad T(0.08)=80\]
Conductividad 45 W/(m·K)
Generación 2.0e5 W/m³
Espesor 0.08 m
Bordes 80 °C
Qué debe realizar el estudiante
  1. Despejar T''=-g/k.
  2. Integrar dos veces.
  3. Usar las condiciones de borde para C_1 y C_2.
  4. Determinar dónde ocurre la temperatura máxima.
Con generación interna y bordes iguales, el perfil esperado es parabólico con máximo al centro.