Clase 2 Ejercicio editable

Clase 2 · EDO de segundo orden

Homogéneas, no homogéneas, raíces, solución general y particular

Resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes, construyendo primero la solución homogénea, luego la solución particular propuesta, después la solución general y finalmente la solución particular del problema usando las condiciones iniciales.

Modelo base
\[\begin{aligned}y''(t)+a y'(t)+b y(t)&=f(t)\\ y(0)&=y_0,\quad y'(0)=v_0\end{aligned}\]
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Parámetros editables

Se muestran solo los parámetros que usa el modelo seleccionado.
Selecciona el tipo de problema. La app cambia la entrada f(t), la propuesta de yₚ y la interpretación.
Multiplica a y'. Representa amortiguamiento o resistencia al cambio. En raíces complejas, controla la parte real α=-a/2.
Multiplica a y. Afecta el equilibrio de entradas constantes y el tipo de raíces mediante Δ=a²-4b.
Entrada constante. En ventas es una demanda base; en f(t)=F representa una fuerza externa constante.
Intensidad de la entrada senoidal o cosenoidal. A mayor amplitud, mayor tamaño de la respuesta forzada.
Frecuencia de la entrada. Controla cuántos ciclos aparecen dentro del horizonte analizado.
Valor inicial que debe cumplir la solución final y_PVI(t), no solo la homogénea.
Pendiente inicial que se aplica sobre la solución general y_h+y_p para calcular C₁ y C₂.
Tiempo total para observar la solución y comparar y_h, y_p y y(t).
Intervalo usado para generar la curva. Un h menor entrega una gráfica más suave.
Restablecer valores

Ejercicio didáctico

Esta clase trabaja el procedimiento completo para una EDO lineal de segundo orden. El estudiante debe distinguir tres objetos: y_h(t), que nace de la ecuación característica; y_p(t), que se propone según f(t); e y_PVI(t), que es la solución particular final después de aplicar y(0) y y'(0). La gráfica debe permitir ver la suma y_PVI(t)=y_h(t)+y_p(t).

Ecuación diferencial
\[\begin{aligned}y''(t)+a y'(t)+b y(t)&=f(t)\\ y(0)&=y_0,\quad y'(0)=v_0\end{aligned}\]
Solución / método
\[\begin{aligned}y_g(t)&=y_h(t)+y_p(t)\\ y_{\text{PVI}}(0)&=y_0,\quad y_{\text{PVI}}'(0)=v_0\\ y_{\text{PVI}}(t)&=y_h(t)+y_p(t)\end{aligned}\]

Mapa mental para modelar

Antes de resolver, el estudiante debe traducir el fenómeno a lenguaje matemático.

Clase 2 · foco didáctico
1
Leer la estructura

El término y'' representa aceleración o curvatura; y' representa velocidad de cambio; y representa el nivel de la variable.

2
Separar el problema

Primero se resuelve la homogénea y''+ay'+by=0. Después se incorpora la entrada externa f(t).

3
Elegir la forma de y_h

La forma de y_h no se inventa: depende del discriminante \Delta=a^2-4b.

4
Elegir la forma de y_p

La forma de y_p depende de f(t): constante, seno, coseno o combinación de base más estacionalidad.

5
Aplicar condiciones iniciales

Las constantes C_1 y C_2 se calculan al final, usando y(0) y y'(0) sobre la solución total.

6
Interpretar la gráfica

La curva final y(t) debe leerse como suma de y_h(t), que es transitoria, y y_p(t), que es la respuesta permanente forzada.

Ejemplos que debe reconocer el alumno

Homogénea con raíces reales
\[\Delta>0\Rightarrow y_h=C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t}\]

Dos modos exponenciales; domina la raíz menos negativa o más grande.

Homogénea con raíz repetida
\[\Delta=0\Rightarrow y_h=(C_1+C_2t)e^{rt}\]

Aparece el término t porque una sola raíz no genera dos soluciones independientes.

Homogénea con raíces complejas
\[\Delta<0\Rightarrow y_h=e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t+C_2\sin\beta t)\]

Oscilación amortiguada si lpha<0; crecimiento oscilatorio si lpha>0.

No homogénea constante
\[f(t)=F\Rightarrow y_p=K\]

Entrada permanente que desplaza el nivel base de la solución.

No homogénea senoidal
\[f(t)=A\sin(\omega t)\Rightarrow y_p=M\sin(\omega t)+N\cos(\omega t)\]

Aunque la entrada sea solo seno, se propone seno y coseno porque las derivadas los mezclan.

Ventas con base y estacionalidad
\[f(t)=c_0+A\sin(\omega t)\Rightarrow y_p=K+M\sin(\omega t)+N\cos(\omega t)\]

Representa un promedio permanente más ciclos estacionales.

Paso a paso

1
Ordenar y clasificar
\[y''+ay'+by=f(t),\quad f(t)=0\;\text{o}\;f(t)\neq 0\]
2
Resolver la homogénea
\[y_h:\quad y''+ay'+by=0\]
3
Buscar raíces
\[y=e^{rt}\Rightarrow r^2+ar+b=0,\quad \Delta=a^2-4b\]
4
Elegir forma de y_h
\[\begin{cases}\Delta>0&y_h=C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t}\\\Delta=0&y_h=(C_1+C_2t)e^{rt}\\\Delta<0&y_h=e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t+C_2\sin\beta t)\end{cases}\]
5
Proponer y_p según f(t)
\[\begin{array}{c|c}f(t)&y_p(t)\\\hline F&K\\ A\sin(\omega t)&M\sin(\omega t)+N\cos(\omega t)\\ A\cos(\omega t)&M\sin(\omega t)+N\cos(\omega t)\\ c_0+A\sin(\omega t)&K+M\sin(\omega t)+N\cos(\omega t)\end{array}\]
6
Calcular K, M y N
\[bK=F_0,\quad (b-\omega^2)M-a\omega N=S,\quad a\omega M+(b-\omega^2)N=C\]
7
Formar la solución general
\[y_g(t)=y_h(t)+y_p(t)\]
8
Aplicar condiciones iniciales
\[y_g(0)=y_0,\quad y_g'(0)=v_0\]
9
Descontar la particular
\[z(0)=y_0-y_p(0),\quad z'(0)=v_0-y_p'(0)\]
10
Calcular C₁ y C₂
\[C_1,C_2\;\text{se obtienen del sistema que nace de } z(0),z'(0)\]
11
Escribir la solución final
\[y_{\text{PVI}}(t)=y_h(t)+y_p(t)\quad\text{con }C_1,C_2\text{ ya calculadas}\]
12
Verificar
\[y_{\text{PVI}}(0)=y_0,\quad y_{\text{PVI}}'(0)=v_0,\quad y''+ay'+by=f(t)\]

Desarrollo matemático con los valores actuales

solución guiada

1. Ordenar y clasificar el modelo

\[y''+1,000y'+0,400y=5,000+2,000\sin(2,000t)\]

Caso seleccionado: Ventas con base y estacionalidad. Representa ventas o demanda con nivel base y estacionalidad. Como f(t)=5,000+2,000\sin(2,000t), el modelo es no homogénea.

2. Resolver la homogénea asociada

\[y''+1,000y'+0,400y=0\]

La homogénea entrega la respuesta natural. Todavía no se aplican las condiciones iniciales finales; primero se debe conocer la forma de la solución general.

3. Proponer y=e^{rt} y buscar la ecuación característica

\[y=e^{rt}\Rightarrow r^2+1,000r+0,400=0\]

Este paso convierte la EDO homogénea en una ecuación algebraica cuadrática.

4. Determinar el caso de raíces

\[\begin{aligned}\Delta&=a^2-4b=1,000^2-4(0,400)=-0,600\\[6pt] \Delta<0&\Rightarrow y_h(t)=e^{\alpha t}\left(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\right)\\[6pt] r&=r=-0,500\pm 0,387i\end{aligned}\]

Con estos valores se obtiene raíces complejas conjugadas. La fórmula de la homogénea se muestra arriba en notación matemática para que el estudiante identifique claramente el caso que corresponde.

5. Escribir y_h con constantes de integración

\[y_h(t)=e^{\alpha t}\left(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\right)\]

C₁ y C₂ todavía no se calculan. Se dejan libres porque más adelante se ajustarán con y(0) y y'(0).

6. Proponer la particular según f(t)

\[y_p(t)=K+M\sin(\omega t)+N\cos(\omega t)\]

Esta propuesta depende de la forma del lado derecho. No depende de y(0) ni de y'(0); esas condiciones se usan después para C₁ y C₂.

7. Derivar y_p y sustituir en la EDO

\[\begin{aligned}y_p'&=M\omega\cos(\omega t)-N\omega\sin(\omega t)\\ y_p''&=-M\omega^2\sin(\omega t)-N\omega^2\cos(\omega t)\end{aligned}\]

Al sustituir, se agrupan términos constantes, senos y cosenos. Luego se igualan coeficientes con f(t).

8. Calcular constantes de la solución propuesta

\[\begin{aligned}bK&=F_0\Rightarrow K=12,500\\ (b-\omega^2)M-a\omega N&=S\\ a\omega M+(b-\omega^2)N&=C\\ M&=-0,425,\qquad N=-0,236\end{aligned}\]

K, M y N pertenecen a la solución particular no homogénea. Se calculan igualando coeficientes, no con las condiciones iniciales.

9. Construir la solución general antes de aplicar condiciones iniciales

\[\begin{aligned}y_g(t)&=y_h(t)+y_p(t)\\ y_h(t)&=e^{\alpha t}\left(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\right)\\ y_p(t)&=12,500+-0,425\sin(2,000t)+-0,236\cos(2,000t)\end{aligned}\]

La solución general reúne la respuesta natural y la respuesta forzada. En este punto todavía falta calcular C₁ y C₂.

10. Aplicar condiciones iniciales sobre la solución general

\[\begin{aligned}y_g(0)&=y_0=6,000\\ y_g'(0)&=v_0=0,000\end{aligned}\]

Las condiciones iniciales se aplican sobre y_g(t)=y_h(t)+y_p(t), no solo sobre y_h ni solo sobre y_p.

11. Descontar la parte particular para aislar C₁ y C₂

\[\begin{aligned}y_p(0)&=12,264,\qquad y_p'(0)=-0,849\\ z(0)&=y_0-y_p(0)=-6,264\\ z'(0)&=v_0-y_p'(0)=0,849\end{aligned}\]

Esta es la idea central: las constantes de integración pertenecen a la homogénea. Por eso se descuenta primero la particular propuesta.

12. Resolver el sistema para C₁ y C₂

\[\begin{aligned}C_1&=y_0-y_p(0)=-6,264\\ \alpha C_1+\beta C_2&=v_0-y_p'(0)=0,849\end{aligned}\]

Este sistema viene directamente de evaluar la solución general y su derivada en t=0.

13. Calcular constantes de integración

\[\begin{aligned}C_1&=-6,264\\ C_2&=\frac{z'(0)-\alpha C_1}{\beta}=-5,895\end{aligned}\]

Ahora la homogénea queda ajustada al problema real. Ya no es una familia de soluciones: queda una curva específica.

14. Escribir la solución particular del problema con condiciones iniciales

\[\begin{aligned}y_h(t)&=e^{-0,500t}\left(-6,264\cos(0,387t)+-5,895\sin(0,387t)\right)\\ y_p(t)&=12,500+-0,425\sin(2,000t)+-0,236\cos(2,000t)\\ y_{\text{PVI}}(t)&=y_h(t)+y_p(t)\end{aligned}\]

Esta es la solución final del ejercicio. En la app se grafica como y_PVI(t), junto con y_h(t) y y_p(t) para ver cómo se unen.

15. Verificar la solución

\[\begin{aligned}y_{\text{PVI}}(0)&=6,000\approx y_0=6,000\\ y_{\text{PVI}}'(0)&=0,000\approx v_0=0,000\\ y''+ay'+by-f(t)&\approx 8,882e-16\end{aligned}\]

La verificación confirma que la curva cumple las condiciones iniciales y satisface la ecuación diferencial dentro del error numérico de redondeo.

Cierre didáctico 1. Orden completo del método

\[y_h\;\longrightarrow\;y_p\;\longrightarrow\;y_g=y_h+y_p\;\longrightarrow\;C_1,C_2\;\longrightarrow\;y_{PVI}\]

Este es el orden correcto para no confundir la particular propuesta con la solución particular del problema de valor inicial.

Cierre didáctico 2. Separar constantes de naturaleza distinta

\[K,M,N\in y_p(t),\qquad C_1,C_2\in y_h(t)\]

K, M y N se obtienen sustituyendo la particular propuesta en la ecuación. C₁ y C₂ se obtienen recién al aplicar las condiciones iniciales.

Cierre didáctico 3. Verificar solución final

\[y_{PVI}''+ay_{PVI}'+by_{PVI}-f(t)\approx 0\]

Después de calcular todas las constantes, la curva final debe satisfacer la ecuación diferencial y las dos condiciones iniciales.

Raíces r=-0,500\pm 0,387i Resultado de la ecuación característica.
Tipo de y_h raíces complejas conjugadas Forma de la solución homogénea según Δ.
Tipo de y_p constante + senoidal Propuesta de particular según f(t).
C₁ ; C₂ -6,264 ; -5,895 Constantes de integración.
CI verificada y(0)=6,000; y'(0)=0,000 Debe coincidir con los datos iniciales.
Residuo máx. 8,882e-16 Debe ser cercano a cero.

Gráfico del modelo

El gráfico muestra solo la solución final del problema con los valores actuales. Las derivadas, entradas, transitorios y componentes auxiliares se revisan en la tabla y en el desarrollo paso a paso.

Interpretación

La solución final se construye en tres capas: primero y_h(t), después y_p(t), y finalmente y_PVI(t)=y_h(t)+y_p(t) ajustada con condiciones iniciales. La curva y_h(t) muestra el transitorio; la curva y_p(t) muestra la respuesta forzada; y_PVI(t) es la solución que debe entregar el estudiante. Al horizonte T, y_PVI(T)=12,800.

Clasificación: no homogénea Entrada f(t): 5,000+2,000\sin(2,000t) Raíces: raíces complejas conjugadas Solución final: y_PVI = y_h + y_p

Cómo afecta cada constante al modelo

a 1,000

Coeficiente de y'. Funciona como amortiguamiento o resistencia al cambio.

b 0,400

Coeficiente de y. Afecta el tipo de raíces y el nivel de equilibrio ante entradas constantes.

Δ -0,600

Discriminante de la ecuación característica. Caso actual: raíces complejas conjugadas.

y_h natural

Respuesta homogénea. Contiene C₁ y C₂ y depende de las raíces.

y_p 12,500+-0,425\sin(2,000t)+-0,236\cos(2,000t)

Particular no homogénea. Se calcula con la forma de f(t), no con condiciones iniciales.

y_PVI final

Solución particular del problema con condiciones iniciales: y_h+y_p con C₁ y C₂ ya calculadas.

C₁, C₂ -6,264; -5,895

Constantes de integración calculadas desde y(0) y y'(0).

K 12,500

Constante de la particular. Responde a la parte constante F₀ de f(t).

M, N -0,425; -0,236

Coeficientes de seno y coseno en y_p(t).

ω 2,000

Frecuencia de la entrada externa. Controla cuántas oscilaciones aparecen.

Checklist de modelación

¿Resolví primero la homogénea?

Debes obtener r²+ar+b=0 y elegir la forma correcta de y_h.

¿Calculé la particular propuesta?

K, M y N se obtienen sustituyendo y_p, y_p' e y_p'' e igualando coeficientes.

¿Formé la solución general?

La solución general es y_g(t)=y_h(t)+y_p(t).

¿Apliqué bien las condiciones iniciales?

Deben aplicarse sobre y_g(t), descontando y_p(0) y y_p'(0) para hallar C₁ y C₂.

¿Entiendo la gráfica?

y_h es transitorio, y_p es forzada y y_PVI es la suma final ajustada.

¿Verifiqué el resultado?

La tabla debe mostrar que y(0) y y'(0) coinciden con los datos iniciales.

Tabla resumida

t / x y_h(t)y_p(t)y_PVI(t)y'(t)y''(t)f(t)residuo
0,00-6,26412,2646,0000,0002,6005,0000,000
0,70-5,36512,0426,6761,9112,3896,9710,000
1,40-4,17512,5808,4052,696-0,3885,6700,000
2,10-3,00512,9869,9811,576-2,3113,2570,000
2,80-2,00712,58510,5780,313-0,8073,7370,000
3,50-1,23312,04310,8100,6141,3766,3140,000
4,20-0,67812,26011,5821,4950,5816,7090,000
4,90-0,30812,87512,5671,033-1,7924,2670,000
5,60-0,08212,86812,786-0,393-1,6803,0420,000
6,300,04212,25012,292-0,7120,8625,0670,000
7,000,09812,04712,1450,3961,7286,9810,000
7,700,11212,59612,7080,952-0,4295,6060,000
8,400,10312,98513,089-0,049-1,9613,2250,000
9,100,08512,56912,654-0,991-0,2803,7900,000
9,800,06412,03812,102-0,3291,8526,3640,000
10,500,04412,27412,3180,8350,9116,6730,000
11,200,02912,88512,9140,572-1,5334,2050,000
12,000,01612,78412,800-0,801-1,1303,1890,000
Ejercicios de aplicación propuestos 3 casos realistas para practicar. Haz clic para abrir o cerrar esta pestaña. Práctica guiada

Ejercicios de aplicación propuestos

Usa los parámetros realistas de cada caso para practicar el modelamiento después de revisar la solución guiada.

Clase 2

1. Ventas con base promedio y estacionalidad

Una empresa observa ventas con una base estable y ciclos asociados a campañas mensuales.

Clase 2
\[y''+0.6y'+1.5y=12+4\sin(2t),\quad y(0)=7,\;y'(0)=0\]
Amortiguamiento 0.6
Recuperación 1.5
Base externa 12
Amplitud estacional 4
Qué debe realizar el estudiante
  1. Resolver la ecuación característica r^2+0.6r+1.5=0.
  2. Construir y_h(t) a partir de las raíces.
  3. Proponer y_p=K+M\sin(2t)+N\cos(2t).
  4. Aplicar y(0), y'(0) para hallar C_1 y C_2.
La solución final debe separar claramente transitorio y respuesta permanente estacional.

2. Índice de vegetación con amortiguamiento ambiental

Un ecosistema afectado por sequía presenta recuperación oscilante con amortiguamiento natural.

Clase 2
\[V''+6V'+25V=0,\qquad V(0)=1,\quad V'(0)=-1\]
Variable V(t): índice relativo de vegetación
Amortiguamiento 6
Presión/restauración 25
Entrada externa 0
Qué debe realizar el estudiante
  1. Clasificar la ecuación como homogénea.
  2. Calcular \Delta=a^2-4b.
  3. Escribir y_h(t) con seno y coseno si las raíces son complejas.
  4. Interpretar el signo de la parte real de las raíces.
La parte real negativa indica que las oscilaciones disminuyen con el tiempo.

3. Efecto de una promoción con entrada cosenoidal

Una promoción genera una fuerza externa periódica sobre la demanda de un producto industrial.

Clase 2
\[y''+1.2y'+0.8y=6\cos(1.5t),\quad y(0)=0,\;y'(0)=2\]
Entrada 6 cos(1.5t)
Velocidad inicial 2 unidades/semana
Horizonte sugerido 12 semanas
Variable y(t): desviación de demanda
Qué debe realizar el estudiante
  1. Resolver primero y_h.
  2. Proponer y_p=M\cos(1.5t)+N\sin(1.5t).
  3. Sustituir y_p, y'_p, y''_p e igualar coeficientes.
  4. Analizar si el transitorio desaparece o crece.
Aunque la entrada sea coseno, la particular debe incluir coseno y seno por el desfase.