Clase 4 Ejercicio editable

Clase 4 · Sistemas de EDO

Forma matricial, autovalores, autovectores, constantes y matriz fundamental

Resolver sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes, escribiendo el sistema en forma matricial, calculando autovalores y autovectores, construyendo la matriz fundamental y usando las condiciones iniciales para encontrar las constantes.

Modelo base
\[\begin{aligned}\mathbf X'(t)&=A\mathbf X(t)\\ \mathbf X(0)&=\mathbf X_0\end{aligned}\]
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Parámetros editables

Se muestran solo los parámetros que usa el modelo seleccionado.
El sistema 2×2 permite calcular autovalores, autovectores y constantes paso a paso. El 3×3 triangular muestra la extensión a tres variables.
Efecto propio de x₁ sobre su propia tasa de cambio x₁'. Si es negativo, x₁ tiende a disiparse por sí misma.
Efecto de x₂ sobre x₁'. Si es positivo, x₂ empuja al alza a x₁; si es negativo, la reduce.
Efecto de x₁ sobre x₂'. Representa el acoplamiento contrario: cómo x₁ modifica la evolución de x₂.
Efecto propio de x₂ sobre x₂'. Si es negativo, x₂ tiene amortiguamiento propio.
Condición inicial de la primera variable. Permite calcular la constante c₁ y c₂ junto con x₂(0).
Condición inicial de la segunda variable. Define desde qué punto parte la trayectoria.
Solo para el sistema 3×3 triangular. Como la matriz es triangular, este valor es un autovalor directo.
Segundo autovalor del sistema triangular. Controla la velocidad natural de x₂.
Tercer autovalor del sistema triangular. Si es positivo, puede generar crecimiento en x₃.
Acoplamiento de x₂ hacia x₁ en el sistema 3×3 triangular.
Acoplamiento de x₃ hacia x₁ en el sistema 3×3 triangular.
Acoplamiento de x₃ hacia x₂ en el sistema 3×3 triangular.
Condición inicial de la tercera variable, usada solo en el sistema 3×3.
Tiempo total observado en gráfico y tabla.
Intervalo numérico para dibujar la trayectoria. Un valor menor genera una curva más suave.
Restablecer valores

Ejercicio didáctico

La clase trabaja variables que no evolucionan de forma aislada: una variable afecta a otra y ambas cambian en el tiempo. Esto aparece en producción e inventario, demanda y capacidad, temperatura y presión, población entre zonas o coordinación entre procesos industriales.

Ecuación diferencial
\[\begin{aligned}\mathbf X'(t)&=A\mathbf X(t)\\ \mathbf X(0)&=\mathbf X_0\end{aligned}\]
Solución / método
\[\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=0\\ (A-\lambda I)\mathbf v&=\mathbf 0\\ \mathbf X(t)&=c_1\mathbf v_1e^{\lambda_1t}+c_2\mathbf v_2e^{\lambda_2t}\end{aligned}\]

Mapa mental para modelar

Antes de resolver, el estudiante debe traducir el fenómeno a lenguaje matemático.

Clase 4 · foco didáctico
1
Reconocer variables acopladas

El alumno define un vector \(\mathbf X(t)\). Por ejemplo, \(x_1(t)\) puede ser producción y \(x_2(t)\) inventario.

2
Construir la matriz A

Cada coeficiente \(a_{ij}\) indica cómo la variable \(x_j\) afecta la derivada de \(x_i\).

3
Buscar patrones de evolución

Los autovalores \(\lambda\) dicen si el sistema crece, decrece, oscila o se estabiliza.

4
Usar condiciones iniciales

Los autovectores dan direcciones de movimiento; las constantes \(c_1,c_2\) indican cuánto pesa cada dirección al inicio.

Ejemplos que debe reconocer el alumno

Producción e inventario
\[\begin{bmatrix}P'\\I'\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}P\\I\end{bmatrix}\]

La producción afecta el inventario y el inventario puede presionar decisiones de producción.

Temperatura y presión
\[\mathbf X'=A\mathbf X\]

En procesos térmicos, una variable puede acelerar o frenar el cambio de otra.

Matriz fundamental
\[\Phi(t)=\left[\mathbf v_1e^{\lambda_1t}\;\;\mathbf v_2e^{\lambda_2t}\right]\]

Reúne soluciones independientes; con ella se construye cualquier solución del sistema.

Paso a paso

1
Escribir el sistema en forma vectorial
\[\mathbf X=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix},\qquad \mathbf X'=A\mathbf X\]
2
Armar la matriz de coeficientes
\[A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\]
3
Formar la ecuación característica
\[\det(A-\lambda I)=0\]
4
Resolver autovalores
\[\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)=0\]
5
Buscar autovectores
\[(A-\lambda_i I)\mathbf v_i=\mathbf 0\]
6
Construir soluciones fundamentales
\[\mathbf X_i(t)=\mathbf v_i e^{\lambda_i t}\]
7
Construir matriz fundamental
\[\Phi(t)=\begin{bmatrix}\mathbf X_1(t)&\mathbf X_2(t)\end{bmatrix}\]
8
Aplicar la condición inicial
\[\mathbf X(0)=V\mathbf c=\mathbf X_0\Rightarrow \mathbf c=V^{-1}\mathbf X_0\]
9
Escribir solución particular
\[\mathbf X(t)=c_1\mathbf v_1e^{\lambda_1t}+c_2\mathbf v_2e^{\lambda_2t}\]
10
Interpretar estabilidad
\[\operatorname{Re}(\lambda_i)<0\Rightarrow\text{estable};\quad \operatorname{Re}(\lambda_i)>0\Rightarrow\text{inestable}\]

Desarrollo matemático con los valores actuales

solución guiada

1. Traducir el sistema a forma matricial

\[\begin{aligned}x_1'&=-0,600x_1+0,200x_2\\x_2'&=0,100x_1+-0,300x_2\end{aligned}\qquad \Rightarrow\qquad \mathbf X'=A\mathbf X\]

Primero se escriben las ecuaciones acopladas como un vector. Esto permite resolver el sistema usando álgebra lineal.

2. Construir la matriz A

\[A=\begin{bmatrix}-0,600&0,200\\0,100&-0,300\end{bmatrix}\]

La diagonal contiene efectos propios. Los elementos fuera de la diagonal son acoplamientos entre variables.

3. Formar A-λI

\[A-\lambda I=\begin{bmatrix}-0,600-\lambda&0,200\\0,100&-0,300-\lambda\end{bmatrix}\]

Se resta λ a la diagonal principal. Luego se calcula el determinante.

4. Calcular la ecuación característica

\[\det(A-\lambda I)=(-0,600-\lambda)(-0,300-\lambda)-(0,200)(0,100)=0\]

Este paso produce un polinomio en λ. Sus raíces son los autovalores.

5. Usar traza y determinante

\[\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)=0\Rightarrow \lambda^2-(-0,900)\lambda+(0,160)=0\]

Para matrices 2×2, la traza es la suma de la diagonal y el determinante resume el producto neto de los modos.

6. Calcular discriminante

\[\Delta=\operatorname{tr}(A)^2-4\det(A)=0,170\]

El discriminante indica si los autovalores son reales distintos, repetidos o complejos conjugados.

7. Resolver autovalores

\[\lambda_1=-0,244,\qquad \lambda_2=-0,656\]

Como Δ>0, los autovalores son reales distintos. Cada uno genera una dirección propia independiente.

8. Buscar autovector para λ₁

\[(A-\lambda_1I)\mathbf v_1=\mathbf 0\qquad \Rightarrow\qquad \mathbf v_1=\begin{bmatrix}0,490\\0,872\end{bmatrix}\]

El autovector indica una dirección especial: si el sistema parte sobre esa dirección, solo cambia de escala con e^{λt}.

9. Buscar autovector para λ₂

\[(A-\lambda_2I)\mathbf v_2=\mathbf 0\qquad \Rightarrow\qquad \mathbf v_2=\begin{bmatrix}-0,963\\0,270\end{bmatrix}\]

El segundo autovector entrega otra solución independiente. Con dos soluciones independientes se puede construir la solución general.

10. Construir matriz fundamental

\[\Phi(t)=\left[\mathbf v_1e^{\lambda_1t}\;\;\mathbf v_2e^{\lambda_2t}\right]\]

La matriz fundamental reúne las soluciones básicas del sistema.

11. Aplicar condición inicial

\[\mathbf X(0)=V\mathbf c=\begin{bmatrix}10,000\\4,000\end{bmatrix},\quad V=\begin{bmatrix}0,490&-0,963\\0,872&0,270\end{bmatrix}\]

En t=0, las exponenciales valen 1. Por eso la condición inicial se transforma en un sistema algebraico para c₁ y c₂.

12. Resolver constantes c₁ y c₂

\[\mathbf c=V^{-1}\mathbf X_0\Rightarrow c_1=6,744,\qquad c_2=-6,957\]

Estas constantes indican cuánto pesa cada modo propio en la solución final.

13. Escribir solución particular

\[\mathbf X(t)=6,744\,\begin{bmatrix}0,490\\0,872\end{bmatrix}e^{-0,244t}+-6,957\,\begin{bmatrix}-0,963\\0,270\end{bmatrix}e^{-0,656t}\]

Esta solución ya incorpora los autovalores, los autovectores y la condición inicial.

14. Interpretar estabilidad

\[\max \operatorname{Re}(\lambda_i)<0\Rightarrow\text{estable};\quad \max \operatorname{Re}(\lambda_i)>0\Rightarrow\text{inestable}\]

Estable: las trayectorias tienden a amortiguarse.

Cierre didáctico 1. Escribir como sistema matricial

\[\mathbf X'(t)=A\mathbf X(t)\]

La matriz A resume cómo cada variable afecta la velocidad de cambio de las demás.

Cierre didáctico 2. Buscar modos naturales

\[\det(A-\lambda I)=0\]

Los autovalores reemplazan el problema diferencial por un problema algebraico que revela crecimiento, caída u oscilación.

Cierre didáctico 3. Construir solución particular

\[\mathbf X(t)=c_1\mathbf v_1e^{\lambda_1t}+c_2\mathbf v_2e^{\lambda_2t}\]

Las constantes c₁ y c₂ se calculan usando el vector inicial. La solución final es una combinación de modos propios.

Autovalores λ₁=-0,244, λ₂=-0,656 Controlan crecimiento, caída u oscilación.
Traza -0,900 Suma de autovalores.
Determinante 0,160 Producto de autovalores.
Estabilidad estable: las trayectorias tienden a amortiguarse Lectura cualitativa del sistema.

Gráfico del modelo

El gráfico muestra solo las componentes de la solución final del sistema. Entradas, errores, normas y soluciones auxiliares quedan en la tabla y en el desarrollo matemático.

Interpretación

La matriz A mezcla las variables: a₁₂=0,200 mide cómo x₂ afecta a x₁ y a₂₁=0,100 mide cómo x₁ afecta a x₂. Según los autovalores (λ₁=-0,244, λ₂=-0,656), las variables tienden a reducir su magnitud o acercarse al equilibrio. La gráfica muestra la solución obtenida por solución analítica con autovalores.

Sistema: X'=AX A: [[-0,600, 0,200],[0,100, -0,300]] Raíces: reales distintas Solución: solución analítica con autovalores

Cómo afecta cada constante al modelo

a₁₁ -0,600

Efecto propio de x₁ sobre x₁'. Si es negativo, x₁ tiende a amortiguarse por sí misma.

a₁₂ 0,200

Efecto de x₂ sobre x₁'. Es un acoplamiento cruzado.

a₂₁ 0,100

Efecto de x₁ sobre x₂'. Es el acoplamiento cruzado en sentido contrario.

a₂₂ -0,300

Efecto propio de x₂ sobre x₂'.

tr(A) -0,900

Suma de autovalores. Ayuda a leer crecimiento o amortiguamiento promedio.

det(A) 0,160

Producto de autovalores. Entrega información sobre inversión de sentido, estabilidad y tipo de equilibrio.

λ₁ -0,244

Primer autovalor. Si es negativo, su modo se amortigua; si es positivo, crece.

λ₂ -0,656

Segundo autovalor. El modo con mayor parte real domina a largo plazo.

c₁ 6,744

Peso inicial del primer modo propio.

c₂ -6,957

Peso inicial del segundo modo propio.

Checklist de modelación

¿Qué representa X(t)?

Un vector de variables dinámicas; por ejemplo, producción e inventario, demanda y capacidad, o temperatura y presión.

¿Qué representa A?

La matriz de relaciones. Cada aᵢⱼ explica cómo xⱼ afecta la velocidad de cambio de xᵢ.

¿Por qué buscamos autovalores?

Porque indican los patrones naturales de crecimiento, caída u oscilación del sistema.

¿Para qué sirven los autovectores?

Dan las direcciones propias de movimiento asociadas a cada autovalor.

¿Qué son c₁ y c₂?

Pesos que ajustan la combinación de soluciones fundamentales para cumplir la condición inicial.

¿Qué debe interpretar el alumno?

Si el sistema es estable, inestable, oscilatorio o si una variable arrastra a la otra mediante acoplamientos.

Tabla resumida

t / x x₁(t)x₂(t)x₁'(t)x₂'(t)||X(t)||
0,0010,0004,000-5,200-0,20010,770
0,856,5193,703-3,171-0,4597,497
1,704,3773,269-1,972-0,5435,463
2,553,0302,805-1,257-0,5384,129
3,402,1612,365-0,824-0,4933,203
4,251,5831,970-0,556-0,4332,528
5,101,1881,629-0,387-0,3702,017
5,950,9091,340-0,277-0,3111,619
6,800,7061,098-0,204-0,2591,306
7,650,5560,898-0,154-0,2141,056
8,500,4410,733-0,118-0,1760,855
9,350,3520,597-0,092-0,1440,694
10,200,2830,487-0,072-0,1180,563
11,050,2280,396-0,058-0,0960,457
11,900,1840,322-0,046-0,0780,371
12,750,1490,262-0,037-0,0640,301
13,600,1210,213-0,030-0,0520,245
15,000,0860,152-0,021-0,0370,174
Ejercicios de aplicación propuestos 3 casos realistas para practicar. Haz clic para abrir o cerrar esta pestaña. Práctica guiada

Ejercicios de aplicación propuestos

Usa los parámetros realistas de cada caso para practicar el modelamiento después de revisar la solución guiada.

Clase 4

1. Producción e inventario acoplados

La producción influye en el inventario y el inventario disponible afecta la programación de producción.

Clase 4
\[\mathbf X'=A\mathbf X,\quad A=\begin{bmatrix}-0.15&0.05\\0.12&-0.10\end{bmatrix},\quad \mathbf X(0)=\begin{bmatrix}100\\40\end{bmatrix}\]
x₁ producción relativa
x₂ inventario relativo
Tiempo semanas
Sistema 2×2 homogéneo
Qué debe realizar el estudiante
  1. Calcular \det(A-\lambda I).
  2. Encontrar autovalores y autovectores.
  3. Construir \Phi(t).
  4. Resolver las constantes con \mathbf X(0).
Los signos negativos en la diagonal suelen representar disipación o ajuste interno.

2. Migración de población entre dos zonas de servicio

Clientes o usuarios se desplazan entre dos zonas según tasas de cambio relativamente constantes.

Clase 4
\[\mathbf X'=\begin{bmatrix}-0.08&0.04\\0.08&-0.04\end{bmatrix}\mathbf X,\quad \mathbf X(0)=\begin{bmatrix}5000\\3000\end{bmatrix}\]
Zona 1 5000 usuarios
Zona 2 3000 usuarios
Tasas 4% a 8% por período
Objetivo equilibrio entre zonas
Qué debe realizar el estudiante
  1. Interpretar cada coeficiente de la matriz A.
  2. Calcular autovalores.
  3. Identificar si existe un modo estacionario.
  4. Explicar el comportamiento de largo plazo.
Un autovalor cercano a cero puede representar conservación del total de usuarios.

3. Acoplamiento térmico entre dos cámaras

Dos cámaras térmicas intercambian calor y pierden energía al ambiente.

Clase 4
\[\mathbf X'=\begin{bmatrix}-0.50&0.20\\0.15&-0.35\end{bmatrix}\mathbf X,\quad \mathbf X(0)=\begin{bmatrix}90\\30\end{bmatrix}\]
x₁ temperatura relativa cámara 1
x₂ temperatura relativa cámara 2
Tiempo horas
Ambiente referencia cero
Qué debe realizar el estudiante
  1. Formar A-\lambda I.
  2. Calcular raíces del polinomio característico.
  3. Determinar estabilidad por los autovalores.
  4. Interpretar cómo se transfiere el calor entre cámaras.
Si ambos autovalores tienen parte real negativa, las temperaturas relativas tienden a cero.