Clase 8 Ejercicio editable

Clase 8 · Transformada de Laplace

Transformar, despejar, descomponer e invertir

Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias usando la transformada de Laplace, mostrando el paso desde la EDO en t hasta la ecuación algebraica en s y el regreso a y(t).

Modelo base
\[\mathcal L\{\text{EDO en }t\}\;\Longrightarrow\;Y(s)\;\Longrightarrow\;\mathcal L^{-1}\{Y(s)\}=y(t)\]
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Parámetros editables

Se muestran solo los parámetros que usa el modelo seleccionado.
Define la estructura de la EDO. Cambia también el desarrollo de Laplace y la forma de Y(s).
Coeficiente de disipación, amortiguamiento o ajuste. En primer orden aparece como y'+ay; en segundo orden como coeficiente de y'.
Coeficiente de rigidez o restauración del modelo de segundo orden. En y''+ay'+by, b controla la fuerza que empuja hacia el equilibrio.
Entrada constante. En primer orden representa fuente permanente; en segundo orden representa fuerza o estímulo constante.
Intensidad del pulso exponencial B e^{-dt}. Mientras mayor sea B, mayor será el impacto inicial de la entrada.
Tasa de decaimiento del pulso exponencial. Si d aumenta, el impulso externo desaparece más rápido.
Condición inicial de la variable. En Laplace entra como sY(s)-y(0).
Velocidad inicial. Solo se usa en segundo orden y aparece al transformar y''.
Tiempo máximo que se observará en el gráfico y tabla.
Separación entre puntos simulados. Un paso menor suaviza la curva.
Restablecer valores

Ejercicio didáctico

Selecciona un ejercicio de Laplace. La app muestra cómo se transforma cada derivada, cómo se despeja Y(s), cómo se preparan fracciones parciales y cómo se interpreta la solución temporal.

Ecuación diferencial
\[\mathcal L\{\text{EDO en }t\}\;\Longrightarrow\;Y(s)\;\Longrightarrow\;\mathcal L^{-1}\{Y(s)\}=y(t)\]
Solución / método
\[\mathcal L\{y'\}=sY(s)-y(0),\qquad \mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)\]

Mapa mental para modelar

Antes de resolver, el estudiante debe traducir el fenómeno a lenguaje matemático.

Clase 8 · foco didáctico
1
Leer la EDO

Identificar qué derivadas aparecen y qué datos iniciales entrega el problema.

2
Pasar al dominio s

Reemplazar derivadas por expresiones algebraicas usando la tabla de Laplace.

3
Despejar Y(s)

Agrupar todos los términos que contienen Y(s) y aislar la función transformada.

4
Invertir

Preparar Y(s) con fracciones parciales para volver a una función y(t).

Ejemplos que debe reconocer el alumno

Entrada escalón
\[y'+ay=C\]

Modelo de primer orden con fuente constante: temperatura, inventario o nivel que busca equilibrio.

Pulso exponencial
\[y'+ay=B e^{-dt}\]

Entrada externa que pierde fuerza con el tiempo: calentamiento, shock operativo o impulso inicial.

Segundo orden
\[y''+ay'+by=F\]

Sistema con velocidad y aceleración: masa-resorte, control, vibraciones o respuesta dinámica.

Paso a paso

1
Transformar la EDO
\[\mathcal L\{\text{lado izquierdo}\}=\mathcal L\{\text{lado derecho}\}\]
2
Incluir condiciones iniciales
\[\mathcal L\{y'\}=sY(s)-y_0,\qquad \mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-sy_0-v_0\]
3
Despejar la función transformada
\[Y(s)=\frac{\text{numerador con datos iniciales y entrada}}{\text{polinomio característico en }s}\]
4
Preparar fracciones parciales
\[Y(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+a}+\cdots\]
5
Aplicar transformada inversa
\[y(t)=\mathcal L^{-1}\{Y(s)\}\]
6
Interpretar
\[\text{transitorio}+\text{respuesta forzada}+\text{equilibrio}\]

Desarrollo matemático con los valores actuales

solución guiada

1. Planteamiento de la EDO

\[y'(t)+0,600y(t)=5,000,\qquad y(0)=2,000\]

La variable y(t) cambia por una entrada constante C y por una pérdida proporcional a su propio nivel.

2. Aplicamos transformada de Laplace

\[\mathcal L\{y'\}+0,600\mathcal L\{y\}=\mathcal L\{5,000\}\]

La derivada se transforma usando la condición inicial: L{y'}=sY(s)-y(0).

3. Reemplazamos la condición inicial

\[sY(s)-2,000+0,600Y(s)=\frac{5,000}{s}\]

En el dominio s, la ecuación diferencial se convierte en una ecuación algebraica.

4. Despejamos Y(s)

\[Y(s)=\frac{2,000}{s+0,600}+\frac{5,000}{s(s+0,600)}\]

Esta es la función transformada. Ahora debe prepararse para usar la tabla inversa.

5. Fracciones parciales

\[\frac{5,000}{s(s+0,600)}=\frac{8,333}{s}-\frac{8,333}{s+0,600}\]

La fracción se separa en términos cuya transformada inversa es conocida.

6. Transformada inversa y solución particular

\[y(t)=8,333+\left(2,000-8,333\right)e^{-0,600t}\]

El primer término es el equilibrio; el segundo es el transitorio que desaparece si a>0.

Cierre didáctico 1. Transformar la EDO

\[\mathcal L\{\text{EDO}\}\Rightarrow \text{ecuación algebraica en }Y(s)\]

Laplace cambia derivadas por expresiones algebraicas que incluyen las condiciones iniciales.

Cierre didáctico 2. Despejar Y(s)

\[Y(s)=\frac{\text{términos iniciales + entrada}}{\text{denominador dinámico}}\]

El denominador conserva la información del sistema; el numerador reúne el estado inicial y la entrada.

Cierre didáctico 3. Volver al tiempo

\[Y(s)\xrightarrow{\mathcal L^{-1}}y(t)\]

La transformada inversa entrega la función temporal que luego se grafica como solución final.

Equilibrio C/a 8,333 Nivel final esperado si a>0.
Constante K -6,333 Distancia inicial respecto del equilibrio.
Valor final 8,333 Resultado al horizonte T.
Pendiente final 4,690e-04 Debe acercarse a cero si el sistema estabiliza.

Gráfico del modelo

El gráfico muestra solo la solución final del problema con los valores actuales. Las derivadas, entradas, transitorios y componentes auxiliares se revisan en la tabla y en el desarrollo paso a paso.

Interpretación

El modelo se estabiliza alrededor de 8,333. La transformada de Laplace permitió usar la condición inicial desde el inicio y separar la respuesta en equilibrio más transitorio. Si a aumenta, la curva llega más rápido al equilibrio; si C aumenta, el equilibrio sube.

Tipo: primer orden + escalón Y(s): 2,000/(s+0,600) + 5,000/[s(s+0,600)] Método: fracciones parciales

Cómo afecta cada constante al modelo

a 0,600

Controla la rapidez de ajuste. Si aumenta, el transitorio e^{-at} se apaga antes.

C 5,000

Es la entrada constante. Aumenta el nivel de equilibrio del sistema.

C/a 8,333

Es el equilibrio: el nivel al que tiende y(t) cuando pasa el tiempo.

K -6,333

Es la constante de integración después de aplicar y(0). Mide la distancia inicial al equilibrio.

Checklist de modelación

¿Qué se transformó?

La EDO completa: derivada, variable y entrada constante.

¿Dónde entró y(0)?

En sY(s)-y(0), por eso la condición inicial aparece antes de invertir.

¿Qué significa el equilibrio?

Es el valor donde y'=0; la entrada C compensa exactamente la pérdida ay.

¿Qué se grafica?

y(t), la pendiente y'(t) y la entrada constante C.

Tabla resumida

t / x y(t)y'(t)entrada C
0,002,0003,8005,000
0,854,5302,2825,000
1,706,0501,3705,000
2,556,9620,8235,000
3,407,5100,4945,000
4,257,8390,2975,000
5,108,0360,1785,000
5,958,1550,1075,000
6,808,2260,0645,000
7,658,2690,0395,000
8,508,2950,0235,000
9,358,3100,0145,000
10,208,3190,0085,000
11,058,3250,0055,000
11,908,3280,0035,000
12,758,3300,0025,000
13,608,3320,0015,000
15,008,3334,690e-045,000
Ejercicios de aplicación propuestos 3 casos realistas para practicar. Haz clic para abrir o cerrar esta pestaña. Práctica guiada

Ejercicios de aplicación propuestos

Usa los parámetros realistas de cada caso para practicar el modelamiento después de revisar la solución guiada.

Clase 8

1. Tanque de mezcla de primer orden

La concentración de un tanque tiende a un valor de equilibrio por entrada continua de solución.

Clase 8
\[y'+0.25y=30,\qquad y(0)=10\]
y(t) concentración relativa
Coeficiente 0.25 min⁻¹
Entrada 30
Horizonte 20 min
Qué debe realizar el estudiante
  1. Aplicar \mathcal L\{y'\}=sY-y(0).
  2. Despejar Y(s).
  3. Separar en fracciones simples.
  4. Aplicar transformada inversa e interpretar el equilibrio.
El equilibrio debe ser 30/0.25.

2. Pulso térmico exponencial

Una fuente de calor se enciende al inicio y pierde intensidad en forma exponencial.

Clase 8
\[y'+0.40y=15e^{-0.20t},\qquad y(0)=0\]
Fuente inicial 15
Decaimiento de fuente 0.20
Pérdida del sistema 0.40
Variable temperatura relativa
Qué debe realizar el estudiante
  1. Transformar e^{-0.20t} como 1/(s+0.20).
  2. Obtener Y(s).
  3. Usar fracciones parciales con (s+0.20)(s+0.40).
  4. Interpretar por qué la respuesta sube y luego cae.
Hay dos exponentes: uno por la fuente y otro por la dinámica del sistema.

3. Segundo orden con entrada escalón

Un sistema de control recibe una señal constante y responde con dinámica de segundo orden.

Clase 8
\[y''+0.8y'+2y=5,\qquad y(0)=0,\quad y'(0)=0\]
Entrada escalón de magnitud 5
Amortiguamiento 0.8
Rigidez 2
Condiciones reposo inicial
Qué debe realizar el estudiante
  1. Aplicar Laplace a y'' y y'.
  2. Despejar Y(s).
  3. Identificar el denominador s^2+0.8s+2.
  4. Determinar si la respuesta es oscilatoria.
Completar cuadrado ayuda a reconocer seno y coseno amortiguados.