Clase 5 Ejercicio editable

Clase 5 · Matriz exponencial y series de Taylor

Diagonalización, estabilidad y aproximación de e^{At}

Resolver sistemas lineales homogéneos usando la matriz exponencial, construir e^{At} mediante diagonalización cuando sea posible y aproximarla con series de Taylor para que el estudiante vea el significado de cada potencia de la matriz.

Modelo base
\[\begin{aligned}\mathbf X'(t)&=A\mathbf X(t)\\ \mathbf X(0)&=\mathbf X_0\end{aligned}\]
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Parámetros editables

Se muestran solo los parámetros que usa el modelo seleccionado.
Diagonalización muestra P, D y P⁻¹. Taylor muestra cómo se aproximan e^{At} con potencias de la matriz.
Efecto propio de x₁ sobre x₁'. Si es negativo, x₁ tiende a disiparse; si es positivo, puede crecer por sí misma.
Efecto de x₂ sobre x₁'. Representa acoplamiento desde la segunda variable hacia la primera.
Efecto de x₁ sobre x₂'. Mide cómo la primera variable empuja o reduce la segunda.
Efecto propio de x₂ sobre x₂'. Si es negativo, x₂ tiene amortiguamiento interno.
Condición inicial de la primera variable. Es el punto de partida usado en X(0).
Condición inicial de la segunda variable. Junto con x₁(0), define la combinación de modos naturales.
Horizonte temporal donde se evalúa la matriz exponencial y la trayectoria.
Número máximo de potencias usadas en la serie. A mayor n, usualmente mejora la aproximación, pero aumenta el cálculo.
Separación entre puntos del gráfico. Un h menor genera una curva más suave.
Restablecer valores

Ejercicio didáctico

Un sistema industrial con varias variables acopladas evoluciona según una matriz A. La pregunta central es: ¿cómo se mueve el estado inicial X(0) en el tiempo? En esta clase se compara la solución mediante matriz exponencial, la lectura por autovalores y la aproximación por serie de Taylor.

Ecuación diferencial
\[\begin{aligned}\mathbf X'(t)&=A\mathbf X(t)\\ \mathbf X(0)&=\mathbf X_0\end{aligned}\]
Solución / método
\[\begin{aligned}\mathbf X(t)&=e^{At}\mathbf X_0\\ e^{At}&=P e^{Dt}P^{-1}\\ e^{At}&=I+At+\frac{(At)^2}{2!}+\frac{(At)^3}{3!}+\cdots\end{aligned}\]

Mapa mental para modelar

Antes de resolver, el estudiante debe traducir el fenómeno a lenguaje matemático.

Clase 5 · foco didáctico
1
Partir desde el sistema

La forma \(\mathbf X'=A\mathbf X\) indica que el cambio de cada variable depende de una combinación lineal de todas las variables.

2
Leer la matriz A

Cada coeficiente \(a_{ij}\) indica cómo la variable \(x_j\) afecta la derivada de \(x_i\). La diagonal muestra efectos propios; fuera de la diagonal aparecen acoplamientos.

3
Buscar autovalores

Los autovalores \(\lambda_i\) indican si el sistema crece, se amortigua o se vuelve inestable cuando \(t\to\infty\).

4
Construir e^{At}

Si la matriz es diagonalizable, se usa \(e^{At}=Pe^{Dt}P^{-1}\). Si no conviene diagonalizar, se aproxima con serie de Taylor.

Ejemplos que debe reconocer el alumno

Control térmico
\[\mathbf X'=A\mathbf X\]

Temperaturas de dos zonas se afectan mutuamente; si los autovalores son negativos, el sistema se estabiliza.

Inventario y producción
\[\begin{bmatrix}P'\\I'\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}P\\I\end{bmatrix}\]

La producción puede alimentar inventario y el inventario puede retroalimentar decisiones de producción.

Migración entre ciudades
\[\mathbf X(t+dt)\approx e^{A dt}\mathbf X(t)\]

La serie de Taylor permite aproximar efectos directos e indirectos de transferencia entre grupos.

Paso a paso

1
Escribir el sistema
\[\mathbf X'(t)=A\mathbf X(t),\qquad \mathbf X(0)=\mathbf X_0\]
2
Calcular autovalores
\[\det(A-\lambda I)=0\]
3
Calcular autovectores
\[(A-\lambda_i I)\mathbf v_i=\mathbf 0\]
4
Construir P y D
\[P=[\mathbf v_1\;\mathbf v_2],\qquad D=\begin{bmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{bmatrix}\]
5
Elevar la diagonal
\[e^{Dt}=\begin{bmatrix}e^{\lambda_1t}&0\\0&e^{\lambda_2t}\end{bmatrix}\]
6
Reconstruir la matriz exponencial
\[e^{At}=P e^{Dt}P^{-1}\]
7
Aplicar la condición inicial
\[\mathbf X(t)=e^{At}\mathbf X_0=P e^{Dt}P^{-1}\mathbf X_0\]
8
Alternativa por Taylor
\[e^{At}\approx \sum_{k=0}^{n}\frac{(At)^k}{k!}\]
9
Interpretar estabilidad
\[\operatorname{Re}(\lambda_i)<0\Rightarrow\text{estable},\quad \operatorname{Re}(\lambda_i)>0\Rightarrow\text{inestable}\]

Desarrollo matemático con los valores actuales

solución guiada

1. Escribir el sistema en forma matricial

\[\mathbf X'=A\mathbf X,\qquad A=\begin{bmatrix}-0,250&0,150\\0,200&-0,550\end{bmatrix},\qquad \mathbf X_0=\begin{bmatrix}8,000\\3,000\end{bmatrix}\]

La matriz A concentra todos los efectos propios y cruzados entre las variables.

2. Calcular traza y determinante

\[\operatorname{tr}(A)=a_{11}+a_{22}=-0,800,\qquad \det(A)=0,108\]

En matrices 2×2, traza y determinante permiten escribir rápidamente el polinomio característico.

3. Construir la ecuación característica

\[\det(A-\lambda I)=\lambda^2-(-0,800)\lambda+(0,108)=0\]

Esta ecuación reemplaza el sistema diferencial por un problema algebraico de autovalores.

4. Resolver autovalores

\[\Delta=0,210,\qquad \lambda_1=-0,171,\qquad \lambda_2=-0,629\]

Cada autovalor representa un modo natural de evolución. Si es negativo, ese modo se amortigua; si es positivo, crece.

5. Buscar autovectores

\[(A-\lambda_i I)\mathbf v_i=\mathbf 0,\qquad \mathbf v_1=\begin{bmatrix}0,884\\0,467\end{bmatrix},\qquad \mathbf v_2=\begin{bmatrix}0,368\\-0,930\end{bmatrix}\]

El autovector entrega la dirección del modo. El sistema se moverá como combinación de estas direcciones.

6. Construir P, D y P^{-1}

\[P=\begin{bmatrix}0,884&0,368\\0,467&-0,930\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}-0,171&0\\0&-0,629\end{bmatrix},\qquad P^{-1}=\begin{bmatrix}0,935&0,370\\0,469&-0,890\end{bmatrix}\]

P guarda los autovectores como columnas. D guarda los autovalores en la diagonal.

7. Calcular la matriz exponencial

\[e^{At}=P e^{Dt}P^{-1},\\ e^{Dt}=\begin{bmatrix}e^{\lambda_1t}&0\\0&e^{\lambda_2t}\end{bmatrix}\]

Elevar una matriz diagonal es simple: solo se eleva cada entrada diagonal.

8. Aplicar la condición inicial

\[\mathbf c=P^{-1}\mathbf X_0=\begin{bmatrix}8,593\\1,086\end{bmatrix}\]

Las constantes c₁ y c₂ indican cuánto pesa cada modo natural en la condición inicial.

9. Solución particular del sistema

\[\mathbf X(t)=(8,593)\,\begin{bmatrix}0,884\\0,467\end{bmatrix}e^{-0,171t}+(1,086)\,\begin{bmatrix}0,368\\-0,930\end{bmatrix}e^{-0,629t}\]

Esta expresión es la solución final: combina modos, direcciones y condiciones iniciales.

10. Aproximación por serie de Taylor

\[e^{At}\approx I+At+\frac{(At)^2}{2!}+\cdots+\frac{(At)^{12}}{12!}\]

La serie entrega una forma alternativa y computable de aproximar e^{At}. Cada potencia de A acumula interacciones de mayor profundidad.

Cierre didáctico 1. Conectar matriz exponencial y solución

\[\mathbf X(t)=e^{At}\mathbf X(0)\]

La matriz exponencial cumple el mismo papel que e^{kt} en una EDO escalar, pero aplicada a un sistema.

Cierre didáctico 2. Diagonalizar cuando sea posible

\[A=PDP^{-1}\quad\Rightarrow\quad e^{At}=Pe^{Dt}P^{-1}\]

La diagonalización transforma el cálculo de e^{At} en exponentes escalares sobre la diagonal.

Cierre didáctico 3. Usar Taylor como aproximación

\[e^{At}\approx I+At+\frac{(At)^2}{2!}+\cdots+\frac{(At)^n}{n!}\]

La serie permite aproximar la solución cuando diagonalizar es incómodo o cuando se quiere entender el cálculo numérico.

X₁(T) 3,252 Primera variable al horizonte final.
X₂(T) 1,663 Segunda variable al horizonte final.
Error Taylor 4,194e-04 Diferencia entre Taylor y la referencia al tiempo T.
Estabilidad SUCCESS estable: las trayectorias tienden a amortiguarse

Gráfico del modelo

El gráfico muestra solo las componentes de la solución final del sistema. Entradas, errores, normas y soluciones auxiliares quedan en la tabla y en el desarrollo matemático.

Interpretación

Los autovalores indican un sistema estable: las variables tienden a amortiguarse. En términos industriales, esto se parece a un proceso autorregulado que corrige perturbaciones sin explotar en el tiempo. Con T=5,00, la referencia entrega X(T)=(3,252, 1,663) y Taylor de orden 12 entrega (3,252, 1,662), con error aproximado 4,194e-04.

Método: diagonalización Autovalores: λ₁=-0,171, λ₂=-0,629 Serie: hasta k=12 e^{At}: operador de evolución

Cómo afecta cada constante al modelo

a₁₁ -0,250

Efecto propio de x₁. Si es negativo, actúa como amortiguamiento; si es positivo, puede generar crecimiento propio.

a₂₂ -0,550

Efecto propio de x₂. La diagonal suele dominar la estabilidad interna de cada variable.

a₁₂ y a₂₁ 0,150 / 0,200

Acoplamientos cruzados. Permiten que una variable arrastre, alimente o frene a la otra.

Autovalores λ₁=-0,171, λ₂=-0,629

Resumen de los modos naturales. Su parte real define estabilidad a largo plazo.

Orden Taylor 12

Cantidad de términos usados. Si el error es alto, conviene aumentar n o reducir el horizonte T.

Checklist de modelación

¿Qué representa X(t)?

Un vector de estado: reúne las variables que cambian simultáneamente.

¿Qué representa A?

La matriz de interacción: cada celda explica cómo una variable afecta la tasa de cambio de otra.

¿Por qué aparecen autovalores?

Porque buscamos soluciones del tipo v e^{λt}; al sustituirlas aparece el problema A v=λ v.

¿Qué significa e^{At}?

Es el operador que mueve el estado inicial en el tiempo según todas las interacciones de A.

¿Qué aporta Taylor?

Permite aproximar e^{At} sumando efectos directos, indirectos y de orden superior.

¿Cómo leo la estabilidad?

Si todos los modos se amortiguan, el sistema vuelve al equilibrio; si alguno crece, se vuelve inestable.

Tabla resumida

t / x x₁ referenciax₂ referenciax₁ Taylorx₂ Taylorerror||X||
0,008,0003,0008,0003,0000,0008,544
0,257,6242,9797,6242,9798,882e-168,185
0,507,2702,9447,2702,9441,776e-157,843
0,756,9362,8976,9362,8971,013e-147,516
1,006,6202,8426,6202,8424,044e-137,204
1,256,3212,7796,3212,7797,262e-126,905
1,506,0382,7106,0382,7107,687e-116,618
1,755,7692,6385,7692,6385,643e-106,343
2,005,5142,5625,5142,5623,168e-096,080
2,255,2722,4855,2722,4851,450e-085,828
2,505,0412,4065,0412,4065,645e-085,586
2,754,8222,3274,8222,3271,929e-075,354
3,004,6132,2484,6132,2485,919e-075,132
3,254,4142,1704,4142,1701,659e-064,918
3,504,2242,0934,2242,0934,304e-064,714
3,754,0422,0174,0422,0171,045e-054,518
4,003,8691,9433,8691,9432,395e-054,330
5,003,2521,6633,2521,6624,194e-043,652
Ejercicios de aplicación propuestos 3 casos realistas para practicar. Haz clic para abrir o cerrar esta pestaña. Práctica guiada

Ejercicios de aplicación propuestos

Usa los parámetros realistas de cada caso para practicar el modelamiento después de revisar la solución guiada.

Clase 5

1. Demanda y capacidad mediante matriz exponencial

Demanda y capacidad se refuerzan lentamente por aprendizaje y expansión operativa.

Clase 5
\[\mathbf X'=\begin{bmatrix}0.05&0.02\\0.01&0.03\end{bmatrix}\mathbf X,\quad \mathbf X(0)=\begin{bmatrix}100\\80\end{bmatrix}\]
Horizonte 12 meses
x₁ demanda índice
x₂ capacidad índice
Método diagonalización
Qué debe realizar el estudiante
  1. Calcular autovalores y autovectores.
  2. Construir P, D y P^{-1}.
  3. Calcular e^{At}=Pe^{Dt}P^{-1}.
  4. Obtener \mathbf X(12).
Autovalores positivos implican crecimiento de los modos propios del sistema.

2. Sistema de control estable con dos variables

Un controlador intenta reducir desviaciones de temperatura y presión hacia cero.

Clase 5
\[\mathbf X'=\begin{bmatrix}-0.40&0.10\\0.20&-0.50\end{bmatrix}\mathbf X,\quad \mathbf X(0)=\begin{bmatrix}20\\-10\end{bmatrix}\]
x₁ desviación de temperatura
x₂ desviación de presión
Tiempo minutos
Objetivo estabilidad
Qué debe realizar el estudiante
  1. Verificar si A es diagonalizable.
  2. Construir la solución con e^{At}.
  3. Determinar si \mathbf X(t)\to 0.
  4. Explicar estabilidad usando autovalores.
La estabilidad depende de la parte real de los autovalores, no solo de los signos de la matriz.

3. Aproximación por serie de Taylor de e^{At}

Se desea aproximar la evolución de tres turnos usando pocos términos de la serie de matriz exponencial.

Clase 5
\[e^{At}\approx I+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\cdots\]
A [[-0.10,0.05],[0.03,-0.08]]
X(0) [1000,600]
t 4 períodos
Órdenes 2, 4 y 6
Qué debe realizar el estudiante
  1. Calcular A^2 y A^3.
  2. Comparar aproximaciones con 2, 4 y 6 términos.
  3. Interpretar el error de truncamiento.
  4. Explicar qué significa cada potencia de A.
Las potencias A^2, A^3 representan efectos indirectos repetidos entre variables.