Clase 7 Ejercicio editable

Clase 7 · Coeficientes indeterminados

Sistemas no homogéneos con entradas constantes, senoidales, exponenciales y polinómicas

Aplicar coeficientes indeterminados en sistemas lineales no homogéneos, eligiendo correctamente la forma de X_p(t), sustituyendo, igualando coeficientes y resolviendo las constantes vectoriales del modelo.

Modelo base
\[\begin{aligned}\mathbf X'(t)&=A\mathbf X(t)+\mathbf g(t)\\ \mathbf X(0)&=\mathbf X_0\end{aligned}\]
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Parámetros editables

Se muestran solo los parámetros que usa el modelo seleccionado.
Selecciona la familia de la entrada externa. Esta elección determina la forma que se debe proponer para Xp(t).
Efecto propio de x₁ sobre x₁'. Si es negativo, x₁ se amortigua por sí misma.
Acoplamiento de x₂ hacia x₁'. Mide cuánto la segunda variable empuja a la primera.
Acoplamiento de x₁ hacia x₂'. Mide cuánto la primera variable afecta a la segunda.
Efecto propio de x₂ sobre x₂'. Si es muy negativo, x₂ se estabiliza con rapidez.
Intensidad principal de la entrada externa en la primera componente. A mayor β, mayor fuerza aplicada al sistema.
Intensidad secundaria de la entrada externa en la segunda componente. Permite ver cómo cambia la respuesta cruzada.
Frecuencia angular para la entrada senoidal. Si aumenta, los ciclos son más rápidos.
Tasa de crecimiento o decaimiento para la entrada exponencial. α>0 amplifica la entrada; α<0 la apaga.
Condición inicial de la primera variable. Se usa para ajustar la parte homogénea.
Condición inicial de la segunda variable. Junto con x₁(0), fija la solución particular completa.
Tiempo total que se desea observar en el gráfico, tabla e interpretación.
Paso de simulación. Un valor menor entrega una curva más suave.
Restablecer valores

Ejercicio didáctico

Un sistema dinámico industrial recibe una entrada externa simple: una fuerza constante, una señal senoidal, un estímulo exponencial o una fuerza polinómica. La idea central es no integrar como en variación de parámetros, sino proponer una solución particular de la misma familia que la entrada y calcular sus coeficientes.

Ecuación diferencial
\[\begin{aligned}\mathbf X'(t)&=A\mathbf X(t)+\mathbf g(t)\\ \mathbf X(0)&=\mathbf X_0\end{aligned}\]
Solución / método
\[\begin{aligned}\mathbf X(t)&=\mathbf X_h(t)+\mathbf X_p(t)\\ \mathbf X_h(t)&=c_1\mathbf v_1e^{\lambda_1t}+c_2\mathbf v_2e^{\lambda_2t}\end{aligned}\]

Mapa mental para modelar

Antes de resolver, el estudiante debe traducir el fenómeno a lenguaje matemático.

Clase 7 · foco didáctico
1
Separar dinámica natural y entrada

A\mathbf X(t) representa la dinámica propia del sistema; \mathbf g(t) representa la perturbación externa.

2
Resolver primero el homogéneo

Se calcula \mathbf X_h resolviendo \det(A-\lambda I)=0 y luego los autovectores.

3
Mirar la familia de g(t)

La forma de \mathbf g(t) decide la forma de \mathbf X_p(t): constante, exponencial, senoidal o polinómica.

4
Convertir derivadas en álgebra

Al sustituir \mathbf X_p en \mathbf X'=A\mathbf X+\mathbf g(t), los coeficientes desconocidos se obtienen resolviendo sistemas lineales.

Ejemplos que debe reconocer el alumno

Entrada constante
\[\mathbf g(t)=\mathbf u\]

Reposición fija, empuje permanente, caudal constante o control externo mantenido.

Entrada senoidal
\[\mathbf g(t)=\mathbf u\cos(\omega t)+\mathbf z\sin(\omega t)\]

Vibraciones, corriente alterna, ciclos de demanda, turnos o estacionalidad.

Entrada exponencial
\[\mathbf g(t)=\mathbf u e^{\alpha t}\]

Calentamiento/enfriamiento externo, crecimiento bacteriano, difusión o estímulo que crece/decae.

Entrada polinómica
\[\mathbf g(t)=\mathbf u_2t^2+\mathbf u_1t+\mathbf u_0\]

Fuerzas que aumentan gradualmente, rampas de producción o esfuerzos acumulativos.

Paso a paso

1
Plantear el sistema
\[\mathbf X'(t)=A\mathbf X(t)+\mathbf g(t)\]
2
Resolver el homogéneo
\[\mathbf X'_h=A\mathbf X_h,\qquad \det(A-\lambda I)=0\]
3
Construir solución homogénea
\[\mathbf X_h(t)=c_1\mathbf v_1e^{\lambda_1t}+c_2\mathbf v_2e^{\lambda_2t}\]
4
Elegir la forma de la particular
\[\mathbf g(t)\;\text{constante}\Rightarrow \mathbf X_p=\mathbf K;\quad \mathbf g(t)=\mathbf u e^{\alpha t}\Rightarrow \mathbf X_p=\mathbf K e^{\alpha t}\]
5
Caso senoidal
\[\mathbf g(t)=\mathbf u\cos(\omega t)+\mathbf z\sin(\omega t)\Rightarrow \mathbf X_p=\mathbf C\cos(\omega t)+\mathbf D\sin(\omega t)\]
6
Caso polinómico
\[\mathbf g(t)=\mathbf u_2t^2+\mathbf u_1t\Rightarrow \mathbf X_p=\mathbf Wt^2+\mathbf Ut+\mathbf V\]
7
Sustituir y comparar
\[\mathbf X'_p=A\mathbf X_p+\mathbf g(t)\Rightarrow \text{igualar coeficientes de la misma familia}\]
8
Calcular coeficientes
\[\text{resolver sistemas algebraicos para }\mathbf K,\mathbf C,\mathbf D,\mathbf W,\mathbf U,\mathbf V\]
9
Formar solución general
\[\mathbf X(t)=\mathbf X_h(t)+\mathbf X_p(t)\]
10
Aplicar condición inicial
\[\mathbf X_h(0)=\mathbf X_0-\mathbf X_p(0)\Rightarrow c_1,c_2\]

Desarrollo matemático con los valores actuales

solución guiada

1. Sistema no homogéneo

\[\mathbf X'=A\mathbf X+\mathbf g(t),\quad A=\begin{bmatrix}-1,000&0,200\\0,100&-2,000\end{bmatrix},\quad \mathbf X_0=\begin{bmatrix}1,000\\0,000\end{bmatrix}\]

Primero se separa lo interno del sistema, representado por A, de la entrada externa g(t).

2. Parte homogénea

\[\det(A-\lambda I)=0\Rightarrow λ₁=-0,980, λ₂=-2,020\]

Antes de buscar la particular, se estudia la dinámica natural. Los autovalores indican si la respuesta propia se amortigua, crece u oscila.

3. Entrada externa

\[\mathbf g(t)=\begin{bmatrix}2,000\cos(1,000t)\\1,000\sin(1,000t)\end{bmatrix}\]

La familia de la entrada define la familia que se debe proponer para la solución particular.

4. Propuesta de solución particular

\[\mathbf X_p(t)=\mathbf C\cos(\omega t)+\mathbf D\sin(\omega t)\]

En coeficientes indeterminados no se integra directamente: se propone una forma compatible con g(t).

5. Sustitución e igualación de coeficientes

\[\begin{cases}\omega\mathbf D=A\mathbf C+\mathbf u_c\\-\omega\mathbf C=A\mathbf D+\mathbf u_s\end{cases}\]

Al sustituir Xp en el sistema, las funciones iguales se agrupan: constantes con constantes, senos con senos, cosenos con cosenos, potencias con potencias.

6. Coeficientes encontrados

\[\mathbf C=\begin{bmatrix}0,936\\-0,183\end{bmatrix}\qquad\mathbf D=\begin{bmatrix}1,028\\0,460\end{bmatrix}\]

Estos valores convierten la propuesta inicial en una solución particular concreta.

7. Solución general

\[\mathbf X(t)=\underbrace{\mathbf X_h(t)=0,099\mathbf v_1e^{-0,980t}+-0,177\mathbf v_2e^{-2,020t}}_{\mathbf X_h(t)}+\underbrace{\mathbf X_p(t)}_{\text{respuesta forzada}}\]

La solución total es la suma de la respuesta natural del sistema más la respuesta inducida por la entrada externa.

8. Condición inicial

\[\mathbf X_h(0)=\mathbf X_0-\mathbf X_p(0)=\begin{bmatrix}0,064\\0,183\end{bmatrix},\qquad \mathbf c=P^{-1}(\mathbf X_0-\mathbf X_p(0))=\begin{bmatrix}0,099\\-0,177\end{bmatrix}\]

Las constantes de la parte homogénea se ajustan para que la solución total pase exactamente por el estado inicial.

Cierre didáctico 1. Elegir propuesta según la entrada

\[\mathbf g(t)\Rightarrow \mathbf X_p(t)\text{ con la misma familia funcional}\]

Si la entrada es constante, exponencial, senoidal o polinómica, la particular se propone con esa misma estructura.

Cierre didáctico 2. Sustituir e igualar coeficientes

\[\mathbf X_p'=A\mathbf X_p+\mathbf g(t)\]

Al reemplazar la propuesta, se comparan coeficientes de las funciones base para obtener un sistema algebraico.

Cierre didáctico 3. Formar solución completa

\[\mathbf X(t)=\mathbf X_h(t)+\mathbf X_p(t)\]

La solución homogénea explica lo natural; la particular explica lo forzado por la entrada externa.

Entrada senoidal Familia seleccionada para g(t).
Autovalores λ₁=-0,980, λ₂=-2,020 Raíces de la parte homogénea.
||Xp(T)|| 1,348 Magnitud de la respuesta forzada al final.
||Xh(T)|| 5,501e-06 Magnitud aproximada del transitorio al final.

Gráfico del modelo

El gráfico muestra solo las componentes de la solución final del sistema. Entradas, errores, normas y soluciones auxiliares quedan en la tabla y en el desarrollo matemático.

Interpretación

La entrada senoidal genera una respuesta periódica forzada; C y D determinan amplitud y desfase. Con los parámetros actuales, el sistema parte en X(0)=(1,000, 0,000) y termina en X(T)=(-1,344, -0,096). La parte natural tiene comportamiento estable: las trayectorias tienden a amortiguarse. La lectura didáctica es: Xh(t) explica cómo reaccionaría el sistema sin estímulo externo; Xp(t) explica la forma permanente o forzada que aparece por g(t). En el horizonte elegido, la respuesta forzada pesa más que el transitorio; por eso el patrón de la entrada externa domina la trayectoria.

Método: coeficientes indeterminados Entrada: senoidal Propuesta: \mathbf X_p(t)=\mathbf C\cos(\omega t)+\mathbf D\sin(\omega t) Estado natural: estable: las trayectorias tienden a amortiguarse

Cómo afecta cada constante al modelo

A \begin{bmatrix}-1,000&0,200\\0,100&-2,000\end{bmatrix}

Matriz que describe la dinámica interna. Sus signos y acoplamientos determinan estabilidad, velocidad de ajuste y transferencia entre variables.

λ λ₁=-0,980, λ₂=-2,020

Autovalores de la parte homogénea. Si la parte real es negativa, el transitorio tiende a desaparecer.

β 2,000

Intensidad principal de la entrada. Al aumentar, crece la magnitud de la respuesta particular.

γ 1,000

Intensidad secundaria de la entrada. Permite observar cómo se transmite el estímulo a la segunda variable.

ω 1,000

Frecuencia de la entrada senoidal. A mayor ω, la solución forzada oscila más rápido.

α 0,200

Tasa de la entrada exponencial. Puede hacer que la entrada externa se amplifique o se apague.

C \begin{bmatrix}0,936\\-0,183\end{bmatrix}

Vector que acompaña al coseno. Ajusta la parte de la respuesta que está en fase con cos(ωt).

D \begin{bmatrix}1,028\\0,460\end{bmatrix}

Vector que acompaña al seno. Ajusta la parte de la respuesta desfasada respecto del coseno.

Checklist de modelación

¿Identifiqué la entrada g(t)?

Sí: se está usando el caso senoidal.

¿Resolví primero el homogéneo?

Sí: λ₁=-0,980, λ₂=-2,020; estable: las trayectorias tienden a amortiguarse

¿La propuesta Xp coincide con g(t)?

mathbf X_p(t)=mathbf Ccos(omega t)+mathbf Dsin(omega t)

¿Sustituí y comparé coeficientes?

Sí: el software muestra el sistema algebraico correspondiente.

¿Apliqué condición inicial?

Sí: se ajusta la parte homogénea con X₀−Xp(0).

Tabla resumida

t / x x₁ totalx₂ totalg₁(t)g₂(t)x₁ particularx₂ particularx₁ homog.x₂ homog.
0,001,0000,0002,0000,0000,936-0,1830,0640,183
0,551,3810,1471,7050,5231,3350,0840,0460,063
1,101,3700,3490,9070,8911,3400,3270,0300,022
1,650,9690,481-0,1580,9970,9500,4730,0180,008
2,200,2910,483-1,1770,8080,2800,4800,0110,003
2,75-0,4660,346-1,8490,382-0,4730,3450,0070,001
3,30-1,0820,109-1,975-0,158-1,0860,1080,0046,006e-04
3,85-1,377-0,160-1,519-0,651-1,379-0,1600,0022,941e-04
4,40-1,264-0,381-0,615-0,952-1,266-0,3810,0011,531e-04
4,95-0,778-0,4900,471-0,972-0,779-0,4907,660e-048,326e-05
5,50-0,062-0,4541,417-0,706-0,062-0,4544,471e-044,661e-05
6,050,673-0,2841,946-0,2310,673-0,2842,609e-042,656e-05
6,601,209-0,0311,9000,3121,209-0,0311,521e-041,528e-05
7,151,3890,2321,2950,7621,3890,2328,872e-058,807e-06
7,701,1590,4260,3070,9881,1590,4265,173e-055,057e-06
8,250,5870,495-0,7710,9230,5870,4953,017e-052,877e-06
8,80-0,1580,417-1,6220,585-0,1580,4171,761e-051,621e-06
10,00-1,344-0,096-1,678-0,544-1,344-0,0965,479e-064,959e-07
Ejercicios de aplicación propuestos 3 casos realistas para practicar. Haz clic para abrir o cerrar esta pestaña. Práctica guiada

Ejercicios de aplicación propuestos

Usa los parámetros realistas de cada caso para practicar el modelamiento después de revisar la solución guiada.

Clase 7

1. Entrada constante en un sistema de producción

Un sistema de dos variables recibe refuerzo constante por recursos adicionales en producción y mantención.

Clase 7
\[\mathbf X'=A\mathbf X+\begin{bmatrix}30\\10\end{bmatrix},\quad A=\begin{bmatrix}-0.50&0.10\\0.20&-0.40\end{bmatrix}\]
Entrada constante
X(0) [0,0]
Tiempo semanas
Particular vector constante K
Qué debe realizar el estudiante
  1. Proponer \mathbf X_p=\mathbf K.
  2. Sustituir 0=A\mathbf K+\mathbf g.
  3. Resolver \mathbf K=-A^{-1}\mathbf g.
  4. Construir \mathbf X=\mathbf X_h+\mathbf X_p.
Si la entrada es constante, la particular más simple también es constante.

2. Mantenimiento correctivo con estímulo exponencial

Una intervención intensa disminuye su efecto en el tiempo sobre dos indicadores de operación.

Clase 7
\[\mathbf X'=A\mathbf X+\begin{bmatrix}12\\4\end{bmatrix}e^{-0.20t},\quad A=\begin{bmatrix}-0.30&0.05\\0.10&-0.25\end{bmatrix}\]
Entrada exponencial
Tasa de decaimiento 0.20
X(0) [3,1]
Particular K e^{-0.20t}
Qué debe realizar el estudiante
  1. Proponer \mathbf X_p=\mathbf K e^{-0.20t}.
  2. Calcular \mathbf X'_p.
  3. Sustituir e igualar coeficientes.
  4. Resolver el sistema para \mathbf K.
La derivada de la particular genera el factor -0.20.

3. Demanda con crecimiento lineal programado

La demanda externa crece de forma gradual por contratos que se incorporan mes a mes.

Clase 7
\[\mathbf X'=A\mathbf X+\begin{bmatrix}5t+20\\2t+8\end{bmatrix},\quad A=\begin{bmatrix}-0.35&0.08\\0.05&-0.22\end{bmatrix}\]
Entrada polinómica grado 1
Tiempo meses
X(0) [10,6]
Particular Ut+V
Qué debe realizar el estudiante
  1. Proponer \mathbf X_p=\mathbf U t+\mathbf V.
  2. Calcular \mathbf X'_p=\mathbf U.
  3. Agrupar coeficientes de t y constantes.
  4. Resolver \mathbf U y \mathbf V.
Cuando la entrada es polinómica, la particular debe tener el mismo grado.