Clase 6 Ejercicio editable

Clase 6 · Variación de parámetros

Sistemas no homogéneos, matriz fundamental y respuesta forzada

Resolver sistemas lineales no homogéneos de la forma X'=AX+b(t), entendiendo que la solución combina respuesta natural del sistema y respuesta forzada por una entrada externa variable en el tiempo.

Modelo base
\[\begin{aligned}\mathbf X'(t)&=A\mathbf X(t)+\mathbf b(t)\\ \mathbf X(0)&=\mathbf X_0\end{aligned}\]
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Parámetros editables

Se muestran solo los parámetros que usa el modelo seleccionado.
Define la forma de la fuerza externa. Cambia el vector b(t) y, por tanto, la solución particular Xp(t).
Efecto propio de x₁ sobre x₁'. Si es negativo, x₁ tiende a disiparse; si es positivo, puede crecer por sí misma.
Efecto de x₂ sobre x₁'. Es un acoplamiento cruzado: la segunda variable empuja o frena a la primera.
Efecto de x₁ sobre x₂'. Mide cuánto arrastra la primera variable a la segunda.
Efecto propio de x₂ sobre x₂'. Valores negativos representan amortiguamiento interno.
Intensidad de la primera componente de la entrada externa b₁(t).
Intensidad de la segunda componente de la entrada externa b₂(t).
Tasa de crecimiento o decaimiento de la entrada exponencial. Si α>0, la entrada aumenta; si α<0, se debilita.
Frecuencia de la entrada senoidal. A mayor ω, los ciclos ocurren más rápido.
Condición inicial de la primera variable. Define desde dónde parte la trayectoria.
Condición inicial de la segunda variable. Junto con x₁(0), determina la respuesta total.
Tiempo total a simular, integrar y graficar.
Tamaño del paso numérico. Un h menor genera una integración y una gráfica más suaves.
Restablecer valores

Ejercicio didáctico

Un sistema industrial tiene dinámica interna propia, representada por la matriz A, pero además recibe una entrada externa b(t): demanda, calor, recursos, perturbaciones, campañas, vibraciones o flujo de información. La variación de parámetros permite incorporar esa entrada sin perder la estructura del sistema homogéneo.

Ecuación diferencial
\[\begin{aligned}\mathbf X'(t)&=A\mathbf X(t)+\mathbf b(t)\\ \mathbf X(0)&=\mathbf X_0\end{aligned}\]
Solución / método
\[\begin{aligned}\mathbf X(t)&=\Phi(t)\left[\mathbf C+\int \Phi^{-1}(t)\mathbf b(t)\,dt\right]\\ \mathbf X_p(t)&=\Phi(t)\int \Phi^{-1}(t)\mathbf b(t)\,dt\end{aligned}\]

Mapa mental para modelar

Antes de resolver, el estudiante debe traducir el fenómeno a lenguaje matemático.

Clase 6 · foco didáctico
1
Separar lo natural y lo forzado

La matriz A describe la dinámica natural; el vector \mathbf b(t) describe la entrada externa que obliga al sistema.

2
Resolver primero el homogéneo

Antes de mirar \mathbf b(t), se resuelve \mathbf X'_h=A\mathbf X_h para construir la matriz fundamental \Phi(t).

3
Cambiar constantes por funciones

La idea central es reemplazar \mathbf C por \mathbf U(t). Así, las constantes ya no son fijas: se adaptan a la entrada externa.

4
Interpretar la integral

La integral \int \Phi^{-1}(t)\mathbf b(t)dt mide cuánto aporte externo se acumula después de filtrarlo por la dinámica natural del sistema.

Ejemplos que debe reconocer el alumno

Entrada constante
\[\mathbf b(t)=\begin{bmatrix}u_0\\v_0\end{bmatrix}\]

Representa alimentación, reposición, subsidio, inyección de recursos o caudal externo constante.

Entrada exponencial
\[\mathbf b(t)=e^{\alpha t}\begin{bmatrix}u_0\\v_0\end{bmatrix}\]

Modela una fuerza externa que crece o decae, como una demanda emergente o pérdida de intensidad.

Entrada senoidal
\[\mathbf b(t)=\begin{bmatrix}u_0\cos(\omega t)\\v_0\sin(\omega t)\end{bmatrix}\]

Representa ciclos, estacionalidad, vibración, turnos o estímulos periódicos.

Paso a paso

1
Plantear el sistema
\[\mathbf X'=A\mathbf X+\mathbf b(t)\]
2
Resolver el sistema homogéneo
\[\mathbf X'_h=A\mathbf X_h\]
3
Buscar autovalores y autovectores
\[\det(A-\lambda I)=0,\qquad (A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0\]
4
Construir la matriz fundamental
\[\Phi(t)=\left[\mathbf X_1(t)\;\mathbf X_2(t)\right]\]
5
Proponer variación de constantes
\[\mathbf X_p(t)=\Phi(t)\mathbf U(t)\]
6
Derivar y sustituir
\[\mathbf X'_p=\Phi'(t)\mathbf U(t)+\Phi(t)\mathbf U'(t)\]
7
Obtener U'(t)
\[\Phi(t)\mathbf U'(t)=\mathbf b(t)\Rightarrow \mathbf U'(t)=\Phi^{-1}(t)\mathbf b(t)\]
8
Integrar
\[\mathbf U(t)=\int \Phi^{-1}(t)\mathbf b(t)\,dt\]
9
Construir solución general
\[\mathbf X(t)=\mathbf X_h(t)+\mathbf X_p(t)\]
10
Aplicar condición inicial
\[\mathbf X(0)=\mathbf X_0\Rightarrow \mathbf C\;\text{queda determinada}\]

Desarrollo matemático con los valores actuales

solución guiada

1. Sistema no homogéneo

\[\begin{aligned}\mathbf X'(t)&=A\mathbf X(t)+\mathbf b(t)\\ A&=\begin{bmatrix}-0,800&0,350\\0,250&-1,450\end{bmatrix}\\ \mathbf X(0)&=\begin{bmatrix}1,000\\0,000\end{bmatrix}\\ \mathbf b(t)=\begin{bmatrix}2,500e^{0,080t}\\1,500\sin(1,200t)\end{bmatrix}\end{aligned}\]

Primero se separa la dinámica interna, representada por A, de la entrada externa b(t). Esta es la diferencia central con los sistemas homogéneos de las clases anteriores.

2. Sistema homogéneo asociado

\[\mathbf X'_h(t)=A\mathbf X_h(t)\]

Se elimina temporalmente la entrada externa para entender cómo se comporta el sistema por sí solo.

3. Autovalores de A

\[\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=0\\ \operatorname{tr}(A)&=-2,250\\ \det(A)&=1,073\\ \Delta&=0,772\\ λ₁=-0,686, λ₂=-1,564\end{aligned}\]

Los autovalores describen los modos naturales del sistema. Su parte real indica si el sistema se amortigua, crece u oscila.

4. Matriz fundamental

\[\Phi(t)=P e^{Dt}P^{-1},\quad P=\begin{bmatrix}0,950&0,416\\0,311&-0,909\end{bmatrix},\quad D=\begin{bmatrix}-0,686&0\\0&-1,564\end{bmatrix}\]

La matriz fundamental reúne soluciones independientes del homogéneo. Funciona como el motor que transporta estados en el tiempo.

4.1. P e inversa de P

\[\begin{aligned}P&=\begin{bmatrix}0,950&0,416\\0,311&-0,909\end{bmatrix}\\P^{-1}&=\begin{bmatrix}0,915&0,419\\0,313&-0,957\end{bmatrix}\\\mathbf C&=\begin{bmatrix}1,000\\0,000\end{bmatrix}\end{aligned}\]

Cuando A tiene autovalores reales distintos, los autovectores forman P y permiten construir Phi(t) con claridad.

5. Variar las constantes

\[\begin{aligned}\mathbf X_p(t)&=\Phi(t)\mathbf U(t)\\ \mathbf X'_p(t)&=\Phi'(t)\mathbf U(t)+\Phi(t)\mathbf U'(t)\end{aligned}\]

La idea didáctica más importante: las constantes del homogéneo dejan de ser constantes y pasan a ser funciones que responden a b(t).

6. Ecuación para U'(t)

\[\begin{aligned}\Phi(t)\mathbf U'(t)&=\mathbf b(t)\\ \mathbf U'(t)&=\Phi^{-1}(t)\mathbf b(t)\end{aligned}\]

Al sustituir en el sistema, aparece la regla que permite calcular cómo deben cambiar las constantes.

7. Integrar la entrada transformada

\[\mathbf U(t)=\int_0^t \Phi^{-1}(\tau)\mathbf b(\tau)\,d\tau\]

Esta integral acumula la entrada externa, pero filtrada por la dinámica propia del sistema. No toda entrada produce el mismo efecto: depende de A.

8. Solución total con condición inicial

\[\mathbf X(t)=\Phi(t)\left[\mathbf X_0+\int_0^t \Phi^{-1}(\tau)\mathbf b(\tau)\,d\tau\right]\]

Con Phi(0)=I, la condición inicial entra como X0. La solución total reúne lo que el sistema traía inicialmente más lo que recibe desde afuera.

9. Resultado al horizonte

\[\mathbf X(10,00)\approx\begin{bmatrix}6,613\\0,342\end{bmatrix}\]

Este valor se calcula numéricamente y se grafica para que el alumno observe la evolución temporal completa.

Cierre didáctico 1. Separar sistema natural y entrada

\[\mathbf X'=A\mathbf X+\mathbf b(t)\]

A describe la dinámica interna; b(t) describe la fuerza externa que cambia en el tiempo.

Cierre didáctico 2. Construir matriz fundamental

\[\Phi'(t)=A\Phi(t)\]

La matriz fundamental contiene soluciones independientes del sistema homogéneo.

Cierre didáctico 3. Variar las constantes

\[\mathbf X_p(t)=\Phi(t)\int_0^t\Phi^{-1}(\tau)\mathbf b(\tau)d\tau\]

Las constantes dejan de ser fijas y se convierten en funciones que acumulan el efecto de la entrada externa.

x₁(T) 6,613 Primera componente de la solución total.
x₂(T) 0,342 Segunda componente de la solución total.
||Xp(T)|| 6,622 Tamaño de la respuesta forzada al horizonte final.
Estabilidad natural SUCCESS estable: las trayectorias tienden a amortiguarse

Gráfico del modelo

El gráfico muestra solo las componentes de la solución final del sistema. Entradas, errores, normas y soluciones auxiliares quedan en la tabla y en el desarrollo matemático.

Interpretación

La dinámica natural es estable: si no existiera entrada externa, el sistema tendería a amortiguarse. La respuesta final está dominada por la entrada externa; por eso la solución particular es clave para interpretar el sistema. En esta clase, lo central es comprender que la solución no homogénea no se inventa desde cero: parte del sistema homogéneo y luego incorpora la entrada externa mediante una integral. Con los parámetros actuales, el estado final es X(T)=(6,613, 0,342). La parte particular al final es aproximadamente Xp(T)=(6,613, 0,341); el error entre la simulación directa y la reconstrucción por variación de parámetros es 0,001.

Método: variación de parámetros Sistema: X'=AX+b(t) Entrada: mixta Autovalores: λ₁=-0,686, λ₂=-1,564 Φ(t): matriz fundamental

Cómo afecta cada constante al modelo

A \begin{bmatrix}-0,800&0,350\\0,250&-1,450\end{bmatrix}

Matriz de interacción. Sus celdas explican la dinámica interna del sistema: efectos propios en la diagonal y acoplamientos fuera de ella.

b(t) \mathbf b(t)=\begin{bmatrix}2,500e^{0,080t}\\1,500\sin(1,200t)\end{bmatrix}

Entrada externa. Es la causa de que el sistema sea no homogéneo y de que aparezca una solución particular forzada.

Φ(t) e^{At}\;\text{o matriz fundamental}

Transporta el estado en el tiempo según la dinámica natural. Es la base de variación de parámetros.

Φ⁻¹(t)b(t) \text{entrada transformada}

Indica cómo se ve la fuerza externa cuando se mide en las coordenadas naturales del sistema.

u₀ y v₀ 2,500 / 1,500

Intensidades de las dos componentes de la entrada. Si aumentan, normalmente aumenta la respuesta forzada.

α y ω 0,080 / 1,200

α modifica crecimiento/decaimiento exponencial; ω controla la rapidez de los ciclos.

Checklist de modelación

¿Ya resolví el homogéneo?

Sí: antes de usar b(t), se analiza X'=AX, porque de ahí sale la matriz fundamental.

¿Qué representa b(t)?

Una entrada externa: recursos, estímulos, perturbaciones, demanda, calor o fuerza aplicada.

¿Por qué se usa Φ⁻¹(t)?

Porque transforma la entrada externa al sistema de coordenadas donde se mueven las constantes variables.

¿Qué se integra?

Se integra Φ⁻¹(t)b(t), no solo b(t). Esa es la diferencia conceptual clave.

¿Dónde aparecen las condiciones iniciales?

En el vector X0, que se suma dentro del corchete cuando usamos Φ(0)=I.

¿Cómo interpreto Xh y Xp?

Xh es la respuesta natural; Xp es la respuesta generada por la entrada externa.

Tabla resumida

t / x x₁ totalx₂ totalb₁(t)b₂(t)x₁ particularx₂ particularerror VP
0,001,0000,0002,5000,0000,0000,0000,000
0,551,8070,3442,6120,9201,1560,2693,046e-04
1,102,4500,8412,7301,4532,0170,7593,427e-04
1,652,9851,1952,8531,3762,6951,1252,720e-04
2,203,4171,2412,9810,7213,2211,1874,911e-04
2,753,7330,9723,115-0,2373,6000,9328,124e-04
3,303,9380,5203,255-1,0953,8480,4919,949e-04
3,854,0630,0953,402-1,4944,0020,0759,703e-04
4,404,161-0,1033,555-1,2654,119-0,1178,110e-04
4,954,2900,0253,715-0,5054,2610,0167,012e-04
5,504,4910,4453,8820,4674,4720,4397,272e-04
6,054,7760,9964,0561,2434,7630,9927,445e-04
6,605,1211,4654,2391,4975,1121,4626,935e-04
7,155,4791,6704,4301,1225,4731,6677,402e-04
7,705,8001,5424,6290,2765,7971,5409,797e-04
8,256,0551,1544,837-0,6866,0531,1520,001
8,806,2430,6855,055-1,3606,2420,6830,001
10,006,6130,3425,564-0,8056,6130,3410,001
Ejercicios de aplicación propuestos 3 casos realistas para practicar. Haz clic para abrir o cerrar esta pestaña. Práctica guiada

Ejercicios de aplicación propuestos

Usa los parámetros realistas de cada caso para practicar el modelamiento después de revisar la solución guiada.

Clase 6

1. Sistema térmico con entrada constante de calor

Dos zonas de una máquina pierden calor, se acoplan entre sí y reciben una entrada térmica externa constante.

Clase 6
\[\mathbf X'=A\mathbf X+\mathbf b,\quad A=\begin{bmatrix}-0.40&0.15\\0.10&-0.30\end{bmatrix},\quad \mathbf b=\begin{bmatrix}12\\6\end{bmatrix}\]
X(0) [20, 10]
Tiempo horas
Entrada calor constante
Método variación de parámetros
Qué debe realizar el estudiante
  1. Resolver primero el sistema homogéneo.
  2. Construir \Phi(t).
  3. Calcular \Phi^{-1}(t)\mathbf b.
  4. Interpretar la particular como respuesta al calor externo.
La entrada externa impide que el sistema tienda necesariamente a cero.

2. Demanda con campaña que decae en el tiempo

Una campaña publicitaria impacta fuertemente al inicio y luego pierde efecto gradualmente.

Clase 6
\[\mathbf X'=A\mathbf X+\begin{bmatrix}20e^{-0.30t}\\5\end{bmatrix},\quad A=\begin{bmatrix}-0.25&0.08\\0.04&-0.18\end{bmatrix}\]
x₁ demanda inducida
x₂ recordación de marca
Entrada exponencial decreciente
Horizonte 20 semanas
Qué debe realizar el estudiante
  1. Identificar \mathbf b(t).
  2. Plantear la integral \int_0^t \Phi^{-1}(\tau)\mathbf b(\tau)d\tau.
  3. Separar respuesta natural y forzada.
  4. Explicar qué ocurre cuando la campaña se apaga.
La variación de parámetros permite entradas que cambian en el tiempo sin adivinar X_p.

3. Dos estanques con caudal externo oscilante

Dos estanques acoplados reciben una entrada periódica por turnos de operación.

Clase 6
\[\mathbf X'=\begin{bmatrix}-0.30&0.10\\0.12&-0.25\end{bmatrix}\mathbf X+\begin{bmatrix}8\sin(0.5t)\\3\cos(0.5t)\end{bmatrix}\]
x₁, x₂ niveles relativos
Frecuencia 0.5 rad/h
Entrada senoidal
Condición inicial [5, 4]
Qué debe realizar el estudiante
  1. Interpretar el término homogéneo AX.
  2. Interpretar la entrada \mathbf b(t).
  3. Plantear \mathbf X_p(t) con variación de parámetros.
  4. Explicar el desfase entre entrada y respuesta.
Una entrada senoidal no siempre produce respuesta en fase con la misma señal.