Clase 1 · EDO de primer orden
Variables separables, ecuaciones lineales y factor integrante
Aprender a modelar una EDO de primer orden desde el fenómeno real: reconocer la variable, separar si corresponde, identificar p(t) y q(t), aplicar condición inicial e interpretar el resultado.
Parámetros editables
Ejercicio didáctico
La clase trabaja tres situaciones industriales típicas: crecimiento o desgaste proporcional, enfriamiento hacia una temperatura ambiente y procesos con entrada constante como inventarios, reposición o temperatura con fuente externa.
Mapa mental para modelar
Antes de resolver, el estudiante debe traducir el fenómeno a lenguaje matemático.
Definir qué variable cambia en el tiempo: temperatura, inventario, desgaste, población o producción.
La derivada y'(t) representa velocidad: cuánto cambia y por unidad de tiempo.
Si aparece solo y multiplicada por una constante, puede ser separable. Si aparece y'+p(t)y=q(t), es lineal.
Aplicar la condición inicial para eliminar la constante de integración y obtener una solución particular.
Ejemplos que debe reconocer el alumno
Crecimiento, desgaste, aprendizaje, pérdida proporcional o demanda que aumenta según el nivel actual.
Un metal caliente se aproxima gradualmente a la temperatura ambiente o del proceso.
Inventario con reposición, temperatura con fuente de calor o recurso que pierde y recibe aportes.
Paso a paso
Desarrollo matemático con los valores actuales
solución guiada1. Planteamiento del proceso
El término ay representa consumo, pérdida o ajuste proporcional. El término b representa una entrada constante, como reposición, fuente o producción.
2. Identificar p(t) y q(t)
Esta identificación es clave: p(t) multiplica a y; q(t) es la entrada independiente del estado.
3. Calcular factor integrante
El factor integrante permite reconocer el lado izquierdo como derivada de un producto.
4. Multiplicar toda la ecuación
La ventaja es que el lado izquierdo se transforma en la derivada de e^{at}y.
5. Reconocer la regla del producto
Este es el paso que suele costar: no se integra término a término sin antes reconocer la derivada del producto.
6. Integrar
Como a es constante, la integral de be^{at} es (b/a)e^{at}.
7. Despejar solución general
La solución tiene una parte de equilibrio b/a y una parte transitoria Ce^{-at}.
8. Aplicar condición inicial
La constante C mide la distancia inicial respecto del equilibrio.
9. Solución particular
Esta es la función final con los parámetros actuales.
Cierre didáctico 1. Identificar la estructura
Antes de calcular, el estudiante debe reconocer si el problema es separable, lineal con entrada o enfriamiento. Esa clasificación define el método.
Cierre didáctico 2. Ubicar la constante de integración
La condición inicial no se usa al principio; se usa después de integrar para convertir la familia de curvas en una curva específica.
Cierre didáctico 3. Verificar con la derivada
La verificación consiste en reemplazar la solución final en la ecuación diferencial. Si el residuo es cercano a cero, la solución es coherente.
Gráfico del modelo
El gráfico muestra solo la solución final del problema con los valores actuales. Las derivadas, entradas, transitorios y componentes auxiliares se revisan en la tabla y en el desarrollo paso a paso.
Interpretación
El modelo lineal con entrada constante indica que el sistema tiende al equilibrio b/a=114,286. Como y₀=50,000, el proceso crece porque la entrada b supera la pérdida inicial ay. La solución separa una parte permanente, b/a, y una parte transitoria, Ce^(-at), que desaparece con el tiempo.
Cómo afecta cada constante al modelo
Fuerza de ajuste o pérdida proporcional. Si a crece, el sistema llega más rápido al equilibrio.
Entrada constante. Si b crece, aumenta el equilibrio b/a.
Nivel de equilibrio: punto donde y'=0.
Distancia inicial respecto del equilibrio; define el tamaño del transitorio.
Checklist de modelación
y(t), observada en función del tiempo.
y'(t) mide la velocidad instantánea de cambio.
En t=0; permite calcular la constante de integración.
∫y(t)dt acumula el nivel del proceso durante el horizonte.
Tabla resumida
| t / x | y(t) | y'(t) | ∫y(t)dt |
|---|---|---|---|
| 0,00 | 50,000 | 22,500 | 0,000 |
| 0,70 | 63,969 | 17,611 | 40,085 |
| 1,40 | 74,903 | 13,784 | 88,842 |
| 2,10 | 83,460 | 10,789 | 144,389 |
| 2,80 | 90,159 | 8,444 | 205,250 |
| 3,50 | 95,401 | 6,610 | 270,269 |
| 4,20 | 99,505 | 5,173 | 338,543 |
| 4,90 | 102,717 | 4,049 | 409,366 |
| 5,60 | 105,231 | 3,169 | 482,182 |
| 6,30 | 107,198 | 2,481 | 556,560 |
| 7,00 | 108,738 | 1,942 | 632,159 |
| 7,70 | 109,944 | 1,520 | 708,715 |
| 8,40 | 110,887 | 1,189 | 786,019 |
| 9,10 | 111,626 | 0,931 | 863,909 |
| 9,80 | 112,204 | 0,729 | 942,257 |
| 10,50 | 112,656 | 0,570 | 1,021e+03 |
| 11,20 | 113,010 | 0,446 | 1,100e+03 |
| 12,00 | 113,322 | 0,337 | 1,190e+03 |
Ejercicios de aplicación propuestos 3 casos realistas para practicar. Haz clic para abrir o cerrar esta pestaña. Práctica guiada
Ejercicios de aplicación propuestos
Usa los parámetros realistas de cada caso para practicar el modelamiento después de revisar la solución guiada.
1. Inventario con reposición continua en una bodega
Una bodega de repuestos consume una fracción del stock disponible y recibe reposición continua desde compras.
- Identificar p(t) y q(t) en la forma I'+p(t)I=q(t).
- Calcular el factor integrante \mu(t).
- Obtener la solución particular y estimar I(15).
- Interpretar el equilibrio I^*=35/0.08.
2. Enfriamiento de una pieza metálica después de tratamiento térmico
Una pieza sale del horno y se deja enfriar en un taller con temperatura ambiente aproximadamente constante.
- Reescribir el modelo como T'+0.18T=0.18\cdot 24.
- Identificar el equilibrio térmico.
- Calcular la constante C usando T(0).
- Determinar cuándo la pieza baja de 60 °C.
3. Aprendizaje operacional en una línea de producción
La producción diaria aumenta proporcionalmente al nivel actual debido al aprendizaje del equipo.
- Resolver separando variables: dP/P=0.12dt.
- Aplicar logaritmos y exponencial para despejar P(t).
- Calcular P(8).
- Explicar por qué k>0 genera crecimiento.